Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
\left\{\frac{n}{2 n+1}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
a_n = \frac{n}{2n+1}
é crescente, decrescente ou não-monótona.
Para isso, vamos usar o critério de comparar o termo seguinte a_{n+1} com o termo atual a_n: se a_{n+1}-a_n>0 para todo n, a sequência é crescente; se for <0, é decrescente; caso contrário, não-monótona.

Passo 2

Calculemos a diferença
a_{n+1}-a_n = \frac{n+1}{2(n+1)+1} - \frac{n}{2n+1} = \frac{n+1}{2n+3} - \frac{n}{2n+1}.
Colocando no mesmo denominador:
a_{n+1}-a_n = \frac{(n+1)(2n+1) \;-\; n(2n+3)} {(2n+3)(2n+1)}.
No numerador:
(n+1)(2n+1) - n(2n+3) = 2n^2 +3n +1 \;-\;(2n^2+3n) = 1.

Passo 3

Logo,
a_{n+1}-a_n = \frac{1}{(2n+3)(2n+1)}.
Como (2n+3)(2n+1)>0 para todo n\in\mathbb{N}, segue que a_{n+1}-a_n>0. Portanto, a sequência é estritamente crescente.

Resposta

A sequência \displaystyle\frac{n}{2n+1} é crescente.

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