Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
\{\sin n \pi\}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a monotonicidade da sequência \{a_n\}, onde
a_n = \sin(n\pi).
O conteúdo é identificação de sequência constante e verificação de monotonicidade.

Passo 2

Calculemos o termo geral: para todo inteiro n,
\sin(n\pi) = 0,
pois n\pi é sempre múltiplo de \pi.

Passo 3

Logo, a_n = 0 para todo n, e portanto
a_{n+1} - a_n = 0 - 0 = 0
para todo n.

Passo 4

Como a_{n+1} = a_n em todos os casos, a sequência não cresce nem decresce estritamente, mas satisfaz
a_{n+1} \ge a_n \quad\text{e}\quad a_{n+1} \le a_n
para todo n. Isso significa que ela é constante, logo é monotonicamente não decrescente e não crescente.

Resposta

A sequência é constante, portanto é simultaneamente crescente (não estrita) e decrescente (não estrita).

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