Determine se a sequência dada é limitada
\left\{\frac{n^{2}+3}{n+1}\right\}

Passo 1

Temos a sequência
a_n = \frac{n^{2} + 3}{n + 1},
onde n é inteiro positivo. A pergunta é se existe algum número real M tal que |a_n|\le M para todo n. Para resolver isso, vamos reescrever a_n de forma a analisar seu comportamento quando n cresce.

Passo 2

Fazemos divisão de polinômios para simplificar a_n. Dividindo n^{2}+3 por n+1, obtemos o quociente n-1 e resto 4, pois
(n-1)(n+1) = n^{2}-1 \quad\Longrightarrow\quad n^{2}+3 = (n-1)(n+1) + 4.
Logo,
a_n = \frac{n^{2}+3}{n+1} = n-1 + \frac{4}{n+1}.

Passo 3

Observe que, para todo n\ge1, temos \frac{4}{n+1}>0. Assim
a_n = n-1 + \frac{4}{n+1} > n-1.
À medida que n cresce, n-1 cresce sem limite, logo a_n\to+\infty.

Passo 4

Como a_n torna-se arbitrariamente grande quando n\to\infty, não existe um M que seja maior ou igual a todos os termos. Portanto, a sequência não é limitada.

Resposta

A sequência \displaystyle\frac{n^{2}+3}{n+1} não é limitada.

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