Determine se a sequência dada é limitada
Passo 1
Temos a sequência
onde
é inteiro positivo. A pergunta é se existe algum número real
tal que
para todo
. Para resolver isso, vamos reescrever
de forma a analisar seu comportamento quando
cresce.
Passo 2
Fazemos divisão de polinômios para simplificar
. Dividindo
por
, obtemos o quociente
e resto
, pois
Logo,
Passo 3
Observe que, para todo
, temos
. Assim
À medida que
cresce,
cresce sem limite, logo
.
Passo 4
Como
torna-se arbitrariamente grande quando
, não existe um
que seja maior ou igual a todos os termos. Portanto, a sequência não é limitada.
Resposta
A sequência
não é limitada.