Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, encontre o limite.
a_{n}=\frac{2 n+(-1)^{n}}{7 n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{2 n+(-1)^{n}}{7 n}
e pede para determinar se a sequência converge ou diverge; se convergir, encontrar o limite. As informações relevantes são:
  • A sequência é dada termo a termo por a_n acima.
  • O termo (-1)^n vale alternadamente 1 e -1.
    Nenhuma outra informação é necessária.

Passo 2

Primeiro simplifico a expressão para enxergar melhor a natureza dos termos. Faço a divisão termo a termo por n:
a_n=\frac{2n+(-1)^n}{7n}=\frac{2n}{7n}+\frac{(-1)^n}{7n}=\frac{2}{7}+\frac{(-1)^n}{7n}.
Isso mostra a_n como a soma de uma constante \frac{2}{7} e de uma sequência \frac{(-1)^n}{7n}.

Passo 3

Vou usar a propriedade básica de limites: se duas sequências têm limites, o limite da soma é a soma dos limites. Portanto, para saber \lim_{n\to\infty} a_n basta conhecer
\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{7n}.
Se este limite for 0, então \lim_{n\to\infty}a_n=\dfrac{2}{7}+0=\dfrac{2}{7}.

Passo 4

Mostro que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{7n}=0. Uso dois argumentos simples e equivalentes:
  1. Observação por valor absoluto: para todo n vale
\left|\frac{(-1)^n}{7n}\right|=\frac{1}{7n}.
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0, segue que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{7n}=0. Portanto a sequência em valor absoluto tende a 0, o que implica que a própria sequência tende a 0.
  1. (Teorema do aperto / squeeze) Como (-1)^n\in\{-1,1\}, para todo n
-\frac{1}{7n}\le \frac{(-1)^n}{7n}\le \frac{1}{7n}.
Como os limites das extremas são ambos 0, pela regra do aperto a sequência do meio também tem limite 0.
Qualquer um dos argumentos é suficiente: \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{7n}=0.

Passo 5

Agora aplico a propriedade da soma de limites:
\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{7}+\frac{(-1)^n}{7n}\right)=\frac{2}{7}+\underbrace{\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{7n}}_{=0}=\frac{2}{7}.
Logo a sequência converge e seu limite é \dfrac{2}{7}.

Passo 6

Comentário prático (dica para prova): quando aparecer um termo oscilante como (-1)^n multiplicado ou dividido por algo que cresce em módulo (aqui n), é comum que o fator que cresce force a expressão oscilante a decair para zero. Neste caso a parte oscilante fica «amortecida» por n, fazendo a sequência convergir ao valor da parte constante.

Resposta

Converge para \dfrac{2}{7}.

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