Isso mostra a_n como a soma de uma constante \frac{2}{7} e de uma sequência \frac{(-1)^n}{7n}.
Passo 3
Vou usar a propriedade básica de limites: se duas sequências têm limites, o limite da soma é a soma dos limites. Portanto, para saber \lim_{n\to\infty} a_n basta conhecer
\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{7n}.
Se este limite for 0, então \lim_{n\to\infty}a_n=\dfrac{2}{7}+0=\dfrac{2}{7}.
Passo 4
Mostro que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{7n}=0. Uso dois argumentos simples e equivalentes:
Observação por valor absoluto: para todo n vale
\left|\frac{(-1)^n}{7n}\right|=\frac{1}{7n}.
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0, segue que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{7n}=0. Portanto a sequência em valor absoluto tende a 0, o que implica que a própria sequência tende a 0.
(Teorema do aperto / squeeze) Como (-1)^n\in\{-1,1\}, para todo n
Logo a sequência converge e seu limite é \dfrac{2}{7}.
Passo 6
Comentário prático (dica para prova): quando aparecer um termo oscilante como (-1)^n multiplicado ou dividido por algo que cresce em módulo (aqui n), é comum que o fator que cresce force a expressão oscilante a decair para zero. Neste caso a parte oscilante fica «amortecida» por n, fazendo a sequência convergir ao valor da parte constante.