Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, encontre o limite.
a_{n}=\frac{\sqrt{1+16 n^{4}}}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a sequência
a_{n}=\frac{\sqrt{1+16 n^{4}}}{n^{2}+1}
converge ou diverge e, em caso de convergência, encontrar o limite quando n\to\infty.
Informações dadas:
  • A sequência está definida para n\in\mathbb{N}.
  • A expressão explícita de a_{n} é \dfrac{\sqrt{1+16 n^{4}}}{n^{2}+1}.

Passo 2

Ideia simplificadora (muito usada em provas): identificar o termo dominante para n grande. Aqui o termo dominante dentro da raiz é 16 n^{4}, e no denominador é n^{2}. Para tratar isso de modo direto e rigoroso, fatoramos n^{4} dentro da raiz e simplificamos por n^{2}. Começamos transformando a_{n} assim:
a_{n}=\frac{\sqrt{1+16 n^{4}}}{n^{2}+1} =\frac{\sqrt{n^{4}\!\left(\dfrac{1}{n^{4}}+16\right)}}{n^{2}+1} =\frac{n^{2}\sqrt{\dfrac{1}{n^{4}}+16}}{n^{2}+1}.
Agora dividimos numerador e denominador por n^{2}:
a_{n}=\frac{\sqrt{\dfrac{1}{n^{4}}+16}}{1+\dfrac{1}{n^{2}}}.

Passo 3

Calcular limites das partes simples:
  • \displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{n^{4}}+16\right)=16, pois \dfrac{1}{n^{4}}\to0.
  • A função \sqrt{\cdot} é contínua em [0,\infty), logo
\lim_{n\to\infty}\sqrt{\dfrac{1}{n^{4}}+16}=\sqrt{16}=4.
  • Também \displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n^{2}}\right)=1.
Pelas regras de limites (limite do quociente é quociente dos limites quando o denominador não tende a zero), obtemos
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\frac{4}{1}=4.

Passo 4

Prova alternativa e rígida (útil em prova para justificar convergência): calcular a_{n}-4 usando o conjugado para mostrar que a diferença tende a zero.
a_{n}-4=\frac{\sqrt{1+16 n^{4}}-4 n^{2}}{n^{2}+1} =\frac{\bigl(1+16 n^{4}-16 n^{4}\bigr)}{(n^{2}+1)\bigl(\sqrt{1+16 n^{4}}+4 n^{2}\bigr)} =\frac{1}{(n^{2}+1)\bigl(\sqrt{1+16 n^{4}}+4 n^{2}\bigr)}.
Agora façamos uma desigualdade simples: para n\ge1 tem-se n^{2}+1\ge n^{2} e \sqrt{1+16 n^{4}}+4 n^{2}\ge 4 n^{2}. Assim
\lvert a_{n}-4\rvert \le \frac{1}{n^{2}\cdot 4 n^{2}}=\frac{1}{4 n^{4}}.
Como \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{4 n^{4}}=0, segue que \lvert a_{n}-4\rvert\to0, ou seja a_{n}\to4. Isso prova convergência de forma estimativa.

Passo 5

Conclusão prática e dica de prova: a sequência converge e o limite é \,4. Em provas, procedimentos rápidos que funcionam bem são (1) fatorar o maior poder dentro da raiz ou do polinômio e simplificar, ou (2) usar o conjugado para estimar a diferença ao limite. Ambas as abordagens já usadas aqui são aceitáveis e fáceis de aplicar em exame.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=4

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