Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a sequência
converge ou diverge e, em caso de convergência, encontrar o limite quando
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A sequência está definida para
. - A expressão explícita de
é .
Passo 2
Ideia simplificadora (muito usada em provas): identificar o termo dominante para
grande. Aqui o termo dominante dentro da raiz é
, e no denominador é
. Para tratar isso de modo direto e rigoroso, fatoramos
dentro da raiz e simplificamos por
. Começamos transformando
assim:
Agora dividimos numerador e denominador por
:
Passo 3
Calcular limites das partes simples:
-
, pois . - A função
é contínua em , logo
- Também
.
Pelas regras de limites (limite do quociente é quociente dos limites quando o denominador não tende a zero), obtemos
Passo 4
Prova alternativa e rígida (útil em prova para justificar convergência): calcular
usando o conjugado para mostrar que a diferença tende a zero.
Agora façamos uma desigualdade simples: para
tem-se
e
. Assim
Como
, segue que
, ou seja
. Isso prova convergência de forma estimativa.
Passo 5
Conclusão prática e dica de prova: a sequência converge e o limite é
. Em provas, procedimentos rápidos que funcionam bem são (1) fatorar o maior poder dentro da raiz ou do polinômio e simplificar, ou (2) usar o conjugado para estimar a diferença ao limite. Ambas as abordagens já usadas aqui são aceitáveis e fáceis de aplicar em exame.