Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, encontre o limite.
a_{n}=\frac{\ln \left(2^{n}+1\right)}{\ln (n)}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
a_{n}=\frac{\ln\!\left(2^{n}+1\right)}{\ln(n)}
converge ou diverge quando n\to\infty. Se convergir, encontrar o limite. Observações iniciais importantes que o enunciado nos dá:
  • A sequência está definida para n\ge 2, porque \ln(n) no denominador exige n>1.
  • Temos uma função logarítmica no numerador envolvendo 2^{n}, que cresce muito rápido com n.
  • O objetivo é estudar o comportamento quando n cresce sem limite.

Passo 2

Uma identidade útil para simplificar o numerador é fatorar 2^{n} dentro do logaritmo usando \ln(ab)=\ln a+\ln b. Aplicando:
\ln\!\left(2^{n}+1\right)=\ln\!\bigl(2^{n}(1+2^{-n})\bigr)=\ln\!\left(2^{n}\right)+\ln\!\left(1+2^{-n}\right).
Como \ln\!\left(2^{n}\right)=n\ln 2, obtemos a expressão exata
\ln\!\left(2^{n}+1\right)=n\ln 2+\ln\!\left(1+2^{-n}\right).

Passo 3

Substituindo essa decomposição em a_{n} temos:
a_{n}=\frac{n\ln 2}{\ln n}+\frac{\ln\!\left(1+2^{-n}\right)}{\ln n}.
Esta escrita é muito útil: é a soma de duas parcelas. Se conseguirmos analisar o limite de cada parcela quando n\to\infty, somamos os resultados.

Passo 4

Estudo da segunda parcela \dfrac{\ln(1+2^{-n})}{\ln n}.
  • Primeiro, note que 2^{-n}\to 0 quando n\to\infty, logo \ln\!\left(1+2^{-n}\right)\to\ln 1=0.
  • Ao mesmo tempo, \ln n\to\infty quando n\to\infty.
  • Quando o numerador tende a 0 e o denominador tende a +\infty, a razão tende a 0. Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\!\left(1+2^{-n}\right)}{\ln n}=0.
(Isto é intuitivo: um numerador que vai para zero dividido por um denominador que cresce sem limite dá zero. Formalmente, \ln(1+2^{-n}) é bounded e tende a zero, enquanto \ln n cresce sem limite.)

Passo 5

Estudo da primeira parcela \dfrac{n\ln 2}{\ln n}.
  • Podemos escrever
\frac{n\ln 2}{\ln n}=\ln 2\cdot\frac{n}{\ln n}.
  • Então basta determinar \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\ln n}. Essa razão cresce sem limite, pois n (uma função polinomial de ordem 1) cresce muito mais rápido que \ln n (crescimento logarítmico). Uma forma rigorosa de ver isso é estender a razão a uma função contínua e aplicar a regra de l’Hôpital: considere f(x)=x e g(x)=\ln x com x\to\infty. Então f(x)\to\infty e g(x)\to\infty, e
\lim_{x\to\infty}\frac{x}{\ln x} =\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{1/x} =\lim_{x\to\infty}x=+\infty.
  • Portanto \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\ln n}=+\infty, e assim
\lim_{n\to\infty}\frac{n\ln 2}{\ln n}=+\infty.
(Se preferir uma justificativa sem l’Hôpital: para qualquer \alpha>0 tem-se \ln n=o(n^\alpha); escolhendo \alpha=\tfrac12 por exemplo, para n grande \ln n\le n^{1/2}, daí \dfrac{n}{\ln n}\ge \sqrt{n}\to\infty.)

Passo 6

Combinação das parcelas e conclusão.
  • Da Passo 4 temos que a segunda parcela tende a 0.
  • Da Passo 5 temos que a primeira parcela tende a +\infty.
  • Soma de uma parcela que tende a +\infty com outra que tende a 0 tende a +\infty. Logo
\lim_{n\to\infty}a_{n}=+\infty.
Isto significa que a sequência diverge (especificamente, diverge para +\infty).

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=+\infty

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