Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência
converge ou diverge quando
. Se convergir, encontrar o limite. Observações iniciais importantes que o enunciado nos dá:
- A sequência está definida para
, porque no denominador exige . - Temos uma função logarítmica no numerador envolvendo
, que cresce muito rápido com . - O objetivo é estudar o comportamento quando
cresce sem limite.
Passo 2
Uma identidade útil para simplificar o numerador é fatorar
dentro do logaritmo usando
. Aplicando:
Como
, obtemos a expressão exata
Passo 3
Substituindo essa decomposição em
temos:
Esta escrita é muito útil: é a soma de duas parcelas. Se conseguirmos analisar o limite de cada parcela quando
, somamos os resultados.
Passo 4
Estudo da segunda parcela
.
- Primeiro, note que
quando , logo . - Ao mesmo tempo,
quando . - Quando o numerador tende a
e o denominador tende a , a razão tende a . Portanto
(Isto é intuitivo: um numerador que vai para zero dividido por um denominador que cresce sem limite dá zero. Formalmente,
é bounded e tende a zero, enquanto
cresce sem limite.)
Passo 5
Estudo da primeira parcela
.
- Podemos escrever
- Então basta determinar
. Essa razão cresce sem limite, pois (uma função polinomial de ordem ) cresce muito mais rápido que (crescimento logarítmico). Uma forma rigorosa de ver isso é estender a razão a uma função contínua e aplicar a regra de l’Hôpital: considere e com . Então e , e
- Portanto
, e assim
(Se preferir uma justificativa sem l’Hôpital: para qualquer
tem-se
; escolhendo
por exemplo, para
grande
, daí
.)
Passo 6
Combinação das parcelas e conclusão.
- Da Passo 4 temos que a segunda parcela tende a
. - Da Passo 5 temos que a primeira parcela tende a
. - Soma de uma parcela que tende a
com outra que tende a tende a . Logo
Isto significa que a sequência diverge (especificamente, diverge para
).