Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se ela converge ou diverge; se convergir, encontrar o limite.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A sequência está escrita em função de
. - O argumento da função
é , que tende a quando . - Queremos estudar o comportamento da expressão quando
.
Passo 2
Estratégia básica (explicada de forma simples): como
, precisamos saber como
se comporta quando
. Uma forma elementar de obter isso é usar o limite conhecido
e relacionar
com
. Vou mostrar isso passo a passo, sem pressupor conhecimento avançado.
Passo 3
Mostrando que
.
Primeiro escrevo
em termos de
:
Agora divido por
:
Quando
temos
. Além disso existe o limite clássico (que pode ser obtido por L’Hôpital ou pela série de Taylor de
):
Multiplicando esses limites (produto de limites), obtemos
Comentário curto sobre a justificativa de
: aplicando L’Hôpital uma vez temos
Isso é tudo bem elementar e suficiente aqui.
Passo 4
Aplicando esse limite à sequência. Defina
. Então
quando
. Reescrevo
isolando
:
Agora extraio o fator
:
Simplificando
, fica
Como já mostramos em
Passo 5
substituindo
e fazendo
(portanto
) obtemos
Logo, tomando limite em ambos os lados da expressão para
,
Passo 6
Interpretação e checagem rápida: o resultado negativo vem porque
para
pequeno, então
. Com
e multiplicando por
obtemos aproximadamente
, confirmando o limite encontrado. Isso também pode ser visto via série de Taylor se já estiver familiarizado.