Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, encontre o limite.
a_{n}=n^{2}\left(1-\operatorname{sec} \left(\frac{5}{n}\right)\right)

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n}=n^{2}\left(1-\operatorname{sec}\left(\dfrac{5}{n}\right)\right) e pede para determinar se ela converge ou diverge; se convergir, encontrar o limite.
Informações relevantes que temos:
  • A sequência está escrita em função de n.
  • O argumento da função \operatorname{sec} é \dfrac{5}{n}, que tende a 0 quando n\to\infty.
  • Queremos estudar o comportamento da expressão quando n\to\infty.

Passo 2

Estratégia básica (explicada de forma simples): como \dfrac{5}{n}\to 0, precisamos saber como \operatorname{sec} x se comporta quando x\to 0. Uma forma elementar de obter isso é usar o limite conhecido
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\tfrac{1}{2},
e relacionar \operatorname{sec} x-1 com 1-\cos x. Vou mostrar isso passo a passo, sem pressupor conhecimento avançado.

Passo 3

Mostrando que \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sec} x-1}{x^{2}}=\tfrac{1}{2}.
Primeiro escrevo \operatorname{sec} x-1 em termos de \cos x:
\operatorname{sec} x-1=\frac{1}{\cos x}-1=\frac{1-\cos x}{\cos x}.
Agora divido por x^{2}:
\frac{\operatorname{sec} x-1}{x^{2}}=\frac{1-\cos x}{x^{2}}\cdot\frac{1}{\cos x}.
Quando x\to 0 temos \cos x\to 1. Além disso existe o limite clássico (que pode ser obtido por L’Hôpital ou pela série de Taylor de \cos):
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\tfrac{1}{2}.
Multiplicando esses limites (produto de limites), obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sec} x-1}{x^{2}}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{1}=\tfrac{1}{2}.
Comentário curto sobre a justificativa de \lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}=\tfrac{1}{2}: aplicando L’Hôpital uma vez temos
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{2x}=\tfrac{1}{2}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\tfrac{1}{2}.
Isso é tudo bem elementar e suficiente aqui.

Passo 4

Aplicando esse limite à sequência. Defina x_n=\dfrac{5}{n}. Então x_n\to 0 quando n\to\infty. Reescrevo a_n isolando \operatorname{sec}-1:
a_{n}=n^{2}\left(1-\operatorname{sec}\left(\tfrac{5}{n}\right)\right)=-\,n^{2}\left(\operatorname{sec}\left(\tfrac{5}{n}\right)-1\right).
Agora extraio o fator \left(\tfrac{5}{n}\right)^{2}:
a_{n}=-\,n^{2}\left(\tfrac{5}{n}\right)^{2}\cdot\frac{\operatorname{sec}\left(\tfrac{5}{n}\right)-1}{\left(\tfrac{5}{n}\right)^{2}}.
Simplificando n^{2}\left(\tfrac{5}{n}\right)^{2}=25, fica
a_{n}=-25\cdot\frac{\operatorname{sec}\left(\tfrac{5}{n}\right)-1}{\left(\tfrac{5}{n}\right)^{2}}.
Como já mostramos em

Passo 5

\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sec} x-1}{x^{2}}=\tfrac{1}{2},
substituindo x=\tfrac{5}{n} e fazendo n\to\infty (portanto x\to 0) obtemos
\lim_{n\to\infty} \frac{\operatorname{sec}\left(\tfrac{5}{n}\right)-1}{\left(\tfrac{5}{n}\right)^{2}}=\tfrac{1}{2}.
Logo, tomando limite em ambos os lados da expressão para a_n,
\lim_{n\to\infty} a_{n}=-25\cdot\tfrac{1}{2}=-\tfrac{25}{2}.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida: o resultado negativo vem porque \operatorname{sec} x\approx 1+\tfrac{x^{2}}{2} para x pequeno, então 1-\operatorname{sec} x\approx -\tfrac{x^{2}}{2}. Com x=\tfrac{5}{n} e multiplicando por n^{2} obtemos aproximadamente -\tfrac{25}{2}, confirmando o limite encontrado. Isso também pode ser visto via série de Taylor se já estiver familiarizado.

Resposta

-\tfrac{25}{2}

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