Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência
) converge ou diverge. Se convergir, encontrar o limite.
Informações dadas:
- A sequência é dada por ).
- O índice
tende a .
Passo 2
Entender o comportamento de
) quando
.
Explicação didática:
) cresce sem limite quando
cresce. Formalmente, para qualquer número
basta escolher
tal que
; então, para todo
vale
). Assim
) quando
.
Passo 3
Concluir o comportamento de
).
Como
), ao subtrair 1 obtemos
).
Mais explicitamente: dado , escolha
tal que
; para
tem
e então
. Isso mostra que os termos
ficam arbitrariamente negativos; portanto tendem a
.
).
Mais explicitamente: dado
Passo 4
Estudar a função
) (arco-tangente): propriedades relevantes.
- A função
) é contínua e estritamente crescente para todo
. - Seus valores estão sempre no intervalo aberto
); isto é, para todo
vale . - Importante: ) e ).
Justificativa intuitiva curta (sem jargões): como
) é uma função que vai de
a
quando
percorre
), a inversa
) aproxima
dos extremos
quando
fica muito grande positivo ou muito grande negativo. Formalmente, dado
, tomando
tem-se
finito; para
obtemos
, o que permite mostrar que
fica dentro de
de
quando
é suficientemente negativo.
Passo 5
Aplicar a propriedade da
ao nosso caso.
Temos visto que
. Pela propriedade do passo anterior,
).
Logo, ao compor, obteremos
).
Logo, ao compor, obteremos
Isto mostra que a sequência converge e dá o limite.
Passo 6
Apresentar uma outra justificativa (útil na prova): monotonicidade e limite inferior.
- Para todo
tem , então . - Como
é crescente, aplica-se a desigualdade e obtemos . Assim ) é estritamente decrescente. - Além disso, para todo
vale ), então a sequência é limitada inferiormente por . - Uma sequência monótona e limitada converge. O único candidato plausível para o limite, dado o comportamento da parte interna
, é . Isso confirma o resultado anterior.