Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, encontre o limite.
a_{n}=\tan ^{-1}(1-\sqrt{n})

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência \(a_{n}=\tan^{-1}(1-\sqrt{n})) converge ou diverge. Se convergir, encontrar o limite.
Informações dadas:
  • A sequência é dada por \(a_{n}=\tan^{-1}(1-\sqrt{n})).
  • O índice n tende a +\infty.

Passo 2

Entender o comportamento de \(\sqrt{n}) quando n\to\infty.
Explicação didática: \(\sqrt{n}) cresce sem limite quando n cresce. Formalmente, para qualquer número M>0 basta escolher N tal que N>M^{2}; então, para todo n\ge N vale \(\sqrt{n}\ge\sqrt{N}>M). Assim \(\sqrt{n}\to+\infty) quando n\to\infty.

Passo 3

Concluir o comportamento de \(1-\sqrt{n}).
Como \(\sqrt{n}\to+\infty), ao subtrair 1 obtemos
\(1-\sqrt{n}\to -\infty).
Mais explicitamente: dado L>0, escolha N tal que \sqrt{N}>1+L; para n\ge N tem \sqrt{n}>1+L e então 1-\sqrt{n}<-L. Isso mostra que os termos 1-\sqrt{n} ficam arbitrariamente negativos; portanto tendem a -\infty.

Passo 4

Estudar a função \(\tan^{-1}x) (arco-tangente): propriedades relevantes.
  • A função \(\tan^{-1}x) é contínua e estritamente crescente para todo x\in\mathbb{R}.
  • Seus valores estão sempre no intervalo aberto \(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}); isto é, para todo x vale -\tfrac{\pi}{2}<\tan^{-1}x<\tfrac{\pi}{2}.
  • Importante: \(\lim_{x\to+\infty}\tan^{-1}x=\tfrac{\pi}{2}) e \(\lim_{x\to-\infty}\tan^{-1}x=-\tfrac{\pi}{2}).
Justificativa intuitiva curta (sem jargões): como \(\tan y) é uma função que vai de -\infty a +\infty quando y percorre \(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}), a inversa \(\tan^{-1}x) aproxima y dos extremos \pm\tfrac{\pi}{2} quando x fica muito grande positivo ou muito grande negativo. Formalmente, dado \epsilon>0, tomando y=-\tfrac{\pi}{2}+\epsilon tem-se \tan y finito; para x<\tan y obtemos \tan^{-1}x<y, o que permite mostrar que \tan^{-1}x fica dentro de \epsilon de -\tfrac{\pi}{2} quando x é suficientemente negativo.

Passo 5

Aplicar a propriedade da \tan^{-1} ao nosso caso.
Temos visto que 1-\sqrt{n}\to -\infty. Pela propriedade do passo anterior,
\(\lim_{x\to -\infty}\tan^{-1}x=-\tfrac{\pi}{2}).
Logo, ao compor, obteremos
\lim_{n\to\infty}\tan^{-1}(1-\sqrt{n})=-\tfrac{\pi}{2}.
Isto mostra que a sequência converge e dá o limite.

Passo 6

Apresentar uma outra justificativa (útil na prova): monotonicidade e limite inferior.
  • Para todo n tem \sqrt{n+1}>\sqrt{n}, então 1-\sqrt{n+1}<1-\sqrt{n}.
  • Como \tan^{-1} é crescente, aplica-se a desigualdade e obtemos a_{n+1}=\tan^{-1}(1-\sqrt{n+1})<\tan^{-1}(1-\sqrt{n})=a_{n}. Assim \(a_n) é estritamente decrescente.
  • Além disso, para todo n vale \(a_n=\tan^{-1}(1-\sqrt{n})>-\tfrac{\pi}{2}), então a sequência é limitada inferiormente por -\tfrac{\pi}{2}.
  • Uma sequência monótona e limitada converge. O único candidato plausível para o limite, dado o comportamento da parte interna 1-\sqrt{n}\to -\infty, é -\tfrac{\pi}{2}. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

-\dfrac{\pi}{2}

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