Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se a sequência converge ou diverge. Em caso de convergência, é preciso encontrar o limite
.
Informações relevantes dadas:
- A expressão explícita de
como função de : . - O índice
vai para infinito quando procuramos o limite.
Passo 2
Vamos manipular a expressão envolvendo fatoriais para simplificá-la. Lembrando a propriedade básica de fatoriais: para todo inteiro
,
Aplicando isso com
ou escrevendo diretamente
em termos de
, obtemos:
Também sabemos que
Agora substituímos essas expressões na fórmula de
.
Passo 3
Substituindo e simplificando os fatoriais:
Os fatores
e
aparecem tanto no numerador quanto no denominador e cancelam-se. Assim:
Passo 4
Agora temos
como uma função racional de
. Para estudar o limite quando
é útil dividir numerador e denominador pela potência dominante de
, que aqui é
. Fazendo isso:
Agora passe a considerar o limite quando
. As frações
e
tendem a zero quando
. Portanto, pelo limite da função contínua que aparece no denominador,
Explicando a ideia: em uma razão de polinômios de mesmo grau, o limite quando
é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui ambos numerador e denominador têm termo dominante em
; o coeficiente em cima é
e em baixo é
, logo o limite é
.
Passo 5
Uma verificação numérica rápida (só para intuição) usando a forma simplificada
:
- Para
: - Para
: - Para
: .
Esses valores mostram a sequência subindo e aproximando-se deconforme cresce, consistente com o limite encontrado.
Passo 6
Conclusão: a sequência converge e o limite é
.
Resposta
Converge e