Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, encontre o limite.
a_{n}=\frac{3 n^{2}(n+1)!}{(n+3)!}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{3 n^{2}(n+1)!}{(n+3)!}
e pede para determinar se a sequência converge ou diverge. Em caso de convergência, é preciso encontrar o limite \lim_{n\to\infty} a_{n}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão explícita de a_{n} como função de n: a_{n}=\dfrac{3 n^{2}(n+1)!}{(n+3)!}.
  • O índice n vai para infinito quando procuramos o limite.

Passo 2

Vamos manipular a expressão envolvendo fatoriais para simplificá-la. Lembrando a propriedade básica de fatoriais: para todo inteiro m\ge 1,
(m+1)!=(m+1)\,m!.
Aplicando isso com m=n+2 ou escrevendo diretamente (n+3)! em termos de (n+1)!, obtemos:
(n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n!.
Também sabemos que
(n+1)!=(n+1)n!.
Agora substituímos essas expressões na fórmula de a_n.

Passo 3

Substituindo e simplificando os fatoriais:
a_{n} = \frac{3 n^{2}(n+1)!}{(n+3)!} = \frac{3 n^{2}\,(n+1)n!}{(n+3)(n+2)(n+1)n!}.
Os fatores n! e (n+1) aparecem tanto no numerador quanto no denominador e cancelam-se. Assim:
a_{n}=\frac{3 n^{2}}{(n+3)(n+2)}.

Passo 4

Agora temos a_n como uma função racional de n. Para estudar o limite quando n\to\infty é útil dividir numerador e denominador pela potência dominante de n, que aqui é n^{2}. Fazendo isso:
a_{n} = \frac{3 n^{2}}{(n+3)(n+2)} = \frac{3 n^{2}}{n^{2}+5n+6} = \frac{3}{1+\dfrac{5}{n}+\dfrac{6}{n^{2}}}.
Agora passe a considerar o limite quando n\to\infty. As frações \dfrac{5}{n} e \dfrac{6}{n^{2}} tendem a zero quando n\to\infty. Portanto, pelo limite da função contínua que aparece no denominador,
\lim_{n\to\infty} a_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{3}{1+\dfrac{5}{n}+\dfrac{6}{n^{2}}} = \frac{3}{1+0+0} = 3.
Explicando a ideia: em uma razão de polinômios de mesmo grau, o limite quando n\to\infty é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui ambos numerador e denominador têm termo dominante em n^{2}; o coeficiente em cima é 3 e em baixo é 1, logo o limite é 3.

Passo 5

Uma verificação numérica rápida (só para intuição) usando a forma simplificada a_{n}=\dfrac{3 n^{2}}{(n+3)(n+2)}:
  • Para n=1: a_{1}=\dfrac{3\cdot1^{2}}{4\cdot3}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}=0{,}25.
  • Para n=10: a_{10}=\dfrac{3\cdot100}{13\cdot12}=\dfrac{300}{156}\approx1{,}923.
  • Para n=100: a_{100}\approx2{,}856.
    Esses valores mostram a sequência subindo e aproximando-se de 3 conforme n cresce, consistente com o limite encontrado.

Passo 6

Conclusão: a sequência converge e o limite é \;3.

Resposta

Converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=3

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