Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, encontre o limite.
a_{n}=\sqrt{n^{2}+5 n}-n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência a_{n}=\sqrt{n^{2}+5 n}-n converge ou diverge quando n\to\infty. Se convergir, encontrar o limite. As informações dadas são apenas a fórmula da sequência para n\in\mathbb{N}.

Passo 2

Observação sobre o tipo de expressão: ao analisar o comportamento para n\to\infty temos uma forma do tipo \infty-\infty, pois \sqrt{n^{2}+5n} e n crescem sem limite. Isso é um sinal de que devemos manipular algebricamente a expressão para eliminar essa indeterminação — uma técnica comum é fatorar n ou usar o conjugado (racionalizar a diferença).

Passo 3

Fatoro n dentro da raiz (para n>0 vale \sqrt{n^{2}}=n):
\sqrt{n^{2}+5n}=n\sqrt{1+\frac{5}{n}}.
Logo
a_{n}=n\left(\sqrt{1+\frac{5}{n}}-1\right).
Agora uso a identidade x-y=\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x+y} (equivalente a multiplicar pelo conjugado) aplicando a x=\sqrt{1+\frac{5}{n}} e y=1:
a_{n}=n\cdot\frac{\left(1+\frac{5}{n}\right)-1}{\sqrt{1+\frac{5}{n}}+1}.
Simplificando a fração:
a_{n}=n\cdot\frac{\frac{5}{n}}{\sqrt{1+\frac{5}{n}}+1}=\frac{5}{\sqrt{1+\frac{5}{n}}+1}.

Passo 4

Agora é fácil passar ao limite. Primeiro note que \dfrac{5}{n}\to 0 quando n\to\infty. A função x\mapsto\sqrt{x} é contínua em x=1, então
\lim_{n\to\infty}\sqrt{1+\frac{5}{n}}=\sqrt{1+0}=1.
Portanto, tomando limite em a_{n},
\lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{5}{\sqrt{1+\frac{5}{n}}+1}=\frac{5}{1+1}=\frac{5}{2}.

Passo 5

Interpretação final e checagem numérica rápida: a sequência converge e seu limite é \dfrac{5}{2}. Por exemplo, para n=100 tem-se a_{100}=\sqrt{10000+500}-100\approx2{,}4695, já bem próximo de 2{,}5, o que confirma a convergência.

Resposta

\dfrac{5}{2}

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