Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência
converge ou diverge quando
. Se convergir, encontrar o limite. As informações dadas são apenas a fórmula da sequência para
.
Passo 2
Observação sobre o tipo de expressão: ao analisar o comportamento para
temos uma forma do tipo
, pois
e
crescem sem limite. Isso é um sinal de que devemos manipular algebricamente a expressão para eliminar essa indeterminação — uma técnica comum é fatorar
ou usar o conjugado (racionalizar a diferença).
Passo 3
Fatoro
dentro da raiz (para
vale
):
Logo
Agora uso a identidade
(equivalente a multiplicar pelo conjugado) aplicando a
e
:
Simplificando a fração:
Passo 4
Agora é fácil passar ao limite. Primeiro note que
quando
. A função
é contínua em
, então
Portanto, tomando limite em
,
Passo 5
Interpretação final e checagem numérica rápida: a sequência converge e seu limite é
. Por exemplo, para
tem-se
, já bem próximo de
, o que confirma a convergência.