Determine quais das sequências abaixo são PA. Em caso afirmativo, determine a razão e classifique-as em crescente, decrescente ou constante.
(1,-2,3,-4, \ldots)

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a sequência (1,-2,3,-4,\ldots) é uma progressão aritmética (PA). Se for PA, determinar a razão e classificá‑la como crescente, decrescente ou constante. Informações dadas:
  • Os termos fornecidos, em ordem, são a_1=1, a_2=-2, a_3=3, a_4=-4, \ldots.

Passo 2

O que é uma PA e como testar na prova (aula rápido e prático).
  • Definição: uma sequência (a_n) é uma PA se existe um número constante d tal que, para todo n\ge1,
a_{n+1}-a_n = d.
  • Outra forma equivalente (fórmula do termo geral): se for PA, então vale
a_n = a_1 + (n-1)d,
onde a_1 é o primeiro termo e d é a razão.
  • Como checar em prova sem complicação: calcule as diferenças entre termos consecutivos dos primeiros 3–4 termos. Se todas forem iguais, é PA; se alguma diferença for diferente, não é PA. Isso é rápido e confiável.

Passo 3

Aplicando o teste à sequência dada: calcule as diferenças a_{n+1}-a_n para os primeiros pares.
  • Para n=1:
a_2-a_1 = -2 - 1 = -3.
  • Para n=2:
a_3-a_2 = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5.
  • Para n=3:
a_4-a_3 = -4 - 3 = -7.

Passo 4

Interpretação das diferenças:
  • As diferenças obtidas são -3, 5 e -7. Essas diferenças NÃO são todas iguais; ao contrário, alternam sinal e mudam de magnitude.
  • Pelo critério do Passo 2, como as diferenças entre termos consecutivos não são constantes, a sequência não satisfaz a definição de PA.

Passo 5

Observação pedagógica (ajuda a entender o padrão e o que aparece com frequência em provas):
  • Embora a sequência completa não seja PA, os termos de índice ímpar formam uma PA: (a_1,a_3,a_5,\ldots)=(1,3,5,\ldots) é PA com razão 2 e é crescente.
  • Os termos de índice par formam outra PA: (a_2,a_4,a_6,\ldots)=(-2,-4,-6,\ldots) é PA com razão -2 e é decrescente.
  • Mas a mistura desses dois padrões (intercalar sinais) impede que a sequência inteira seja uma única PA.

Passo 6

Dica de prova/treino: em questões parecidas, sempre calcule as primeiras diferenças. Se você encontrar pelo menos duas diferenças diferentes, pode concluir imediatamente que NÃO é PA — economia de tempo é vital na prova!

Resposta

A sequência (1,-2,3,-4,\ldots) não é uma PA.

Exercícios relacionados