Determine quais das sequências abaixo são PA. Em caso afirmativo, determine a razão e classifique-as em crescente, decrescente ou constante.
Passo 1
O enunciado fornece a sequência
e pede:
- Determine se essa sequência é uma progressão aritmética (PA).
- Se for PA, determine a razão.
- Classifique a PA como crescente, decrescente ou constante.
Informações dadas explicitamente:
- Os termos apresentados são
, , , e assim por diante, todos iguais a .
Passo 2
O que é uma PA? Vou explicar devagarinho, como se estivéssemos na prova juntos.
- Definição: uma sequência
é uma progressão aritmética (PA) se a diferença entre termos consecutivos for sempre a mesma. Essa diferença constante chama-se razão e costuma ser denotada por . - Em símbolos: a sequência é PA se, para todo
,
onde
não depende de
.
- Fórmula do
-ésimo termo: se é o primeiro termo e a razão, então
Aqui
é o termo de índice
,
é o primeiro termo,
é a razão e
é um inteiro positivo.
Passo 3
Vamos testar a sequência dada com a definição (calcular as diferenças entre termos consecutivos).
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
. - Terceiro termo:
.
Calcule as diferenças:
As duas diferenças que calculamos são iguais e valem
. Para verificar plenamente que é uma PA, observar que qualquer par de termos consecutivos da sequência tem a mesma diferença: como todos os termos são
, para todo
,
Portanto a diferença é a mesma para todo
, logo a sequência é uma PA e a razão é
.
Passo 4
Classificação em crescente, decrescente ou constante:
- Regra prática:
- Se
, a PA é crescente (os termos aumentam). - Se
, a PA é decrescente (os termos diminuem). - Se
, a PA é constante (todos os termos são iguais).
- Se
- Aqui encontramos
. Então a PA é constante: todos os termos valem .
Também podemos escrever o termo geral para usar na prova:
ou seja,
para todo
.
Resposta
A sequência é PA; razão
.
Classificação: constante.
Classificação: constante.