Determine quais das sequências abaixo são PA. Em caso afirmativo, determine a razão e classifique-as em crescente, decrescente ou constante.
(7,7,7, \ldots)

Passo 1

O enunciado fornece a sequência (7,7,7,\ldots) e pede:
  • Determine se essa sequência é uma progressão aritmética (PA).
  • Se for PA, determine a razão.
  • Classifique a PA como crescente, decrescente ou constante.
Informações dadas explicitamente:
  • Os termos apresentados são a_1=7, a_2=7, a_3=7, e assim por diante, todos iguais a 7.

Passo 2

O que é uma PA? Vou explicar devagarinho, como se estivéssemos na prova juntos.
  • Definição: uma sequência (a_n) é uma progressão aritmética (PA) se a diferença entre termos consecutivos for sempre a mesma. Essa diferença constante chama-se razão e costuma ser denotada por d.
  • Em símbolos: a sequência é PA se, para todo n\ge1,
a_{n+1}-a_n = d,
onde d não depende de n.
  • Fórmula do n-ésimo termo: se a_1 é o primeiro termo e d a razão, então
a_n = a_1 + (n-1)d.
Aqui a_n é o termo de índice n, a_1 é o primeiro termo, d é a razão e n é um inteiro positivo.

Passo 3

Vamos testar a sequência dada com a definição (calcular as diferenças entre termos consecutivos).
  • Primeiro termo: a_1=7.
  • Segundo termo: a_2=7.
  • Terceiro termo: a_3=7.
Calcule as diferenças:
a_2-a_1 = 7-7 = 0,
a_3-a_2 = 7-7 = 0.
As duas diferenças que calculamos são iguais e valem 0. Para verificar plenamente que é uma PA, observar que qualquer par de termos consecutivos da sequência tem a mesma diferença: como todos os termos são 7, para todo n,
a_{n+1}-a_n = 7-7 = 0.
Portanto a diferença é a mesma para todo n, logo a sequência é uma PA e a razão é d=0.

Passo 4

Classificação em crescente, decrescente ou constante:
  • Regra prática:
    • Se d>0, a PA é crescente (os termos aumentam).
    • Se d<0, a PA é decrescente (os termos diminuem).
    • Se d=0, a PA é constante (todos os termos são iguais).
  • Aqui encontramos d=0. Então a PA é constante: todos os termos valem 7.
Também podemos escrever o termo geral para usar na prova:
a_n = a_1 + (n-1)d = 7 + (n-1)\cdot 0 = 7,
ou seja, a_n=7 para todo n.

Resposta

A sequência é PA; razão d=0.
Classificação: constante.

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