DETERMINE SE AS SEQUÊNCIAS CONVERGEM CALCULANDO SEU LIMITE
a_{n}=\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n}

Passo 1

O problema dá a sequência a_{n} definida por
a_{n}=\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n}
e pede para determinar se a sequência converge e, em caso afirmativo, calcular seu limite. Não há outros dados; a variável que tende a infinito é n.

Passo 2

Primeira limpeza algébrica para ver uma forma mais conveniente. Reescrevo a fração dentro da potência de modo a evidenciar uma expressão do tipo 1+ (\cdot)/(\cdot):
\frac{n-1}{n+1}=\frac{(n+1)-2}{n+1}=1-\frac{2}{n+1}.
Portanto
a_{n}=\left(1-\frac{2}{n+1}\right)^{n}.
Essa forma já lembra o tipo de sequência que costuma convergir para uma potência de e, do tipo \left(1+\dfrac{x}{m}\right)^{m}.

Passo 3

Para aplicar o limite conhecido, faço a mudança de variável m=n+1. Assim m\to\infty quando n\to\infty, e posso escrever a_{n} em função de m:
a_{n}=\left(1-\frac{2}{m}\right)^{m-1}.
Agora separo a potência em dois fatores:
\left(1-\frac{2}{m}\right)^{m-1}=\left(1-\frac{2}{m}\right)^{m}\cdot\left(1-\frac{2}{m}\right)^{-1}.

Passo 4

Vou analisar o limite de cada fator quando m\to\infty.
Fator 1: \left(1-\dfrac{2}{m}\right)^{m}.
Há um limite clássico: para todo real x,
\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{x}{m}\right)^{m}=e^{x}.
No nosso caso x=-2, logo espera-se que
\lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{2}{m}\right)^{m}=e^{-2}.
Para justificar rapidamente essa regra: considere o logaritmo natural. Se b_{m}=\left(1+\dfrac{x}{m}\right)^{m}, então
\ln b_{m}=m\ln\!\left(1+\frac{x}{m}\right)=\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{x}{m}\right)}{\dfrac{x}{m}}\cdot x.
Como \dfrac{x}{m}\to0 quando m\to\infty e vale o limite \lim_{u\to0}\dfrac{\ln(1+u)}{u}=1, segue que \lim_{m\to\infty}\ln b_{m}=x. Portanto \lim_{m\to\infty}b_{m}=e^{x}. Aplicando com x=-2 obtém-se o resultado acima.

Passo 5

Fator 2: \left(1-\dfrac{2}{m}\right)^{-1}. Quando m\to\infty temos \dfrac{2}{m}\to0, então
\lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{2}{m}\right)^{-1}=\frac{1}{1-0}=1.

Passo 6

Agora uso que o limite do produto é o produto dos limites (quando ambos existem finitos). Assim:
\lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{2}{m}\right)^{m-1} =\left(\lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{2}{m}\right)^{m}\right)\cdot\left(\lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{2}{m}\right)^{-1}\right) =e^{-2}\cdot 1=e^{-2}.
Como m=n+1, isso é equivalente a
\lim_{n\to\infty}a_{n}=e^{-2}.

Passo 7

Interpretação final: a sequência converge e seu limite é e^{-2}. Uma forma alternativa (equivalente) de ver o mesmo limite é calcular \ln a_{n}=n\ln\!\left(1-\dfrac{2}{n+1}\right) e usar que \ln(1+u)\sim u quando u\to0, o que leva ao mesmo valor -2 para o limite do logaritmo, e portanto a_{n}\to e^{-2}.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=e^{-2}

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