DETERMINE SE AS SEQUÊNCIAS CONVERGEM CALCULANDO SEU LIMITE
Passo 1
O problema dá a sequência
definida por
e pede para determinar se a sequência converge e, em caso afirmativo, calcular seu limite. Não há outros dados; a variável que tende a infinito é
.
Passo 2
Primeira limpeza algébrica para ver uma forma mais conveniente. Reescrevo a fração dentro da potência de modo a evidenciar uma expressão do tipo
:
Portanto
Essa forma já lembra o tipo de sequência que costuma convergir para uma potência de
, do tipo
.
Passo 3
Para aplicar o limite conhecido, faço a mudança de variável
. Assim
quando
, e posso escrever
em função de
:
Agora separo a potência em dois fatores:
Passo 4
Vou analisar o limite de cada fator quando
.
Fator 1:
.
Há um limite clássico: para todo real ,
Há um limite clássico: para todo real
No nosso caso
, logo espera-se que
Para justificar rapidamente essa regra: considere o logaritmo natural. Se
, então
Como
quando
e vale o limite
, segue que
. Portanto
. Aplicando com
obtém-se o resultado acima.
Passo 5
Fator 2:
. Quando
temos
, então
Passo 6
Agora uso que o limite do produto é o produto dos limites (quando ambos existem finitos). Assim:
Como
, isso é equivalente a
Passo 7
Interpretação final: a sequência converge e seu limite é
. Uma forma alternativa (equivalente) de ver o mesmo limite é calcular
e usar que
quando
, o que leva ao mesmo valor
para o limite do logaritmo, e portanto
.