VERIFIQUE SE AS SÉRIES CONVERGEM ABSOLUTAMENTE, CONDICIONALMENTE OU DIVERGEM
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[4]{n}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt[4]{n}}
como sendo convergente absolutamente, convergente condicionalmente ou divergente.
Informações dadas e que vamos usar:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{(-1)^n}{n^{1/4}}.
  • A série é alternada por causa do fator (-1)^n.
  • A parte positiva associada à magnitude dos termos é b_n=\dfrac{1}{n^{1/4}}.

Passo 2

Testar convergência absoluta: olhar a série das magnitudes
\sum_{n=1}^{\infty}\left| \frac{(-1)^n}{n^{1/4}}\right| = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/4}}.
Esta é uma série do tipo p-série, onde um termo geral é 1/n^{p} com p=\tfrac{1}{4}.
Lembrete (pequena aula): um resultado padrão é que a p-série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Uma forma de justificar isso é pelo teste da integral: comparar com a integral impropria \displaystyle\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx. Se essa integral diverge, a série também diverge; se converge, a série converge.

Passo 3

Aplicando esse critério aqui com p=\tfrac{1}{4}, como \tfrac{1}{4}\le 1 espera-se divergência. Para ficar explícito, usemos o teste da integral:
Considere f(x)=x^{-1/4}, que é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty). Calcule a integral
\int_{1}^{\infty} x^{-1/4}\,dx = \lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t} x^{-1/4}\,dx = \lim_{t\to\infty}\left[\frac{x^{3/4}}{3/4}\right]_{1}^{t} = \frac{4}{3}\lim_{t\to\infty}\bigl(t^{3/4}-1\bigr)=\infty.
Como a integral diverge, pela comparação via teste da integral a série \sum_{n=1}^{\infty}1/n^{1/4} também diverge. Portanto a série original NÃO é absolutamente convergente.

Passo 4

Testar convergência (não-abs.) da série alternada: usar o Teste de Leibniz (teste da série alternada).
Lembrete (pequena aula sobre o teste de Leibniz): Se (b_n)_{n\ge1} é uma sequência positiva, decrescente (eventualmente decrescente serve) e \lim_{n\to\infty} b_n = 0, então a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} b_n
converge.
Aqui tomamos b_n=\dfrac{1}{n^{1/4}}. Precisamos verificar duas coisas:
  1. \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n = 0. De fato,
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{1/4}}=0,
porque n^{1/4}\to\infty quando n\to\infty.
  1. b_n é decrescente (eventualmente). Podemos ver isso pela função f(x)=x^{-1/4} para x>0. Sua derivada é
f'(x)=-\frac{1}{4}x^{-5/4}<0\quad\text{para todo }x>0,
logo f é estritamente decrescente, o que implica b_{n+1}<b_n para todo n. Assim a condição de monotonicidade está satisfeita.
Pelo teste de Leibniz, a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{1/4}}
converge.

Passo 5

Conclusão final e interpretação: a série converge (pelo teste de Leibniz) mas não converge absolutamente (pois a série das magnitudes \sum 1/n^{1/4} diverge). Esse é exatamente o caso de convergência condicional.
Exemplo comparativo rápido para fixar a ideia: a série alternada harmônica \sum (-1)^n/n também converge (Leibniz) mas não converge absolutamente; aqui a situação é análoga, só que com n^{1/4} em vez de n.

Resposta

Converge condicionalmente.

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