Determine se as sequências convergem ou divergem. Se ela convergir, determine seu limite:
a_{n}=(-1)^{n} \frac{n}{n^{3}+3}

Passo 1

O enunciado quer saber se a sequência a_n = (-1)^n \frac{n}{n^3+3} converge ou diverge e, em caso de convergência, qual é o seu limite. O conteúdo envolve limites de sequência e o Teorema do Confronto.

Passo 2

Primeiro, analisamos o módulo de a_n:
|a_n| = \frac{n}{n^3+3} = \frac{1}{n^2 + \tfrac{3}{n}}.
Como n^2 cresce muito mais rápido que \tfrac{3}{n}, temos
\lim_{n\to\infty} |a_n| = 0.

Passo 3

Agora, como
-|a_n| \le a_n \le |a_n|
e os limites de -|a_n| e |a_n| são ambos zero, pelo Teorema do Confronto concluímos
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

Exercícios relacionados