Determine se as sequências convergem ou divergem. Se ela convergir, determine seu limite:
a_{n}=\frac{n^{2}-2 \sqrt{n}+1}{1-n-3 n^{2}}\'

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n}=\frac{n^{2}-2\sqrt{n}+1}{1-n-3n^{2}}
e pede que verifiquemos se ela converge e, em caso afirmativo, qual é o seu limite. O conteúdo aqui é limite de sequência racional em que o grau do polinômio no numerador e no denominador é o mesmo ( 2), então vamos dividir numerador e denominador por n^{2}.

Passo 2

Dividindo numerador e denominador por n^{2}, obtemos
a_{n} =\frac{\displaystyle\frac{n^{2}-2\sqrt{n}+1}{n^{2}}} {\displaystyle\frac{1-n-3n^{2}}{n^{2}}} =\frac{1-2n^{-\tfrac{3}{2}}+n^{-2}}{n^{-2}-n^{-1}-3}.

Passo 3

Ao fazermos n\to\infty, temos n^{-1}\to0, n^{-2}\to0 e n^{-\tfrac{3}{2}}\to0. Portanto
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\frac{1-0+0}{0-0-3} =-\frac{1}{3}.

Resposta

A sequência converge e seu limite é -\frac{1}{3}.

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