Determine se as sequências convergem ou divergem. Se ela convergir, determine seu limite:
a_{n}=\frac{\mathrm{e}^{n}-\mathrm{e}^{-n}}{\mathrm{e}^{n}+\mathrm{e}^{-n}}\'

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_n = \frac{\mathrm{e}^{n} - \mathrm{e}^{-n}}{\mathrm{e}^{n} + \mathrm{e}^{-n}}.
O conteúdo é limite de sequência envolvendo exponenciais; vamos usar a ideia de que \mathrm{e}^{n} cresce muito rápido e \mathrm{e}^{-n} tende a zero.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por \mathrm{e}^{n}, para evidenciar o termo que vai a zero:
a_n = \frac{\mathrm{e}^{n} - \mathrm{e}^{-n}}{\mathrm{e}^{n} + \mathrm{e}^{-n}} = \frac{1 - \mathrm{e}^{-2n}}{1 + \mathrm{e}^{-2n}}.

Passo 3

Sabemos que
\lim_{n\to\infty}\mathrm{e}^{-2n} = 0,
pois a função exponencial decrescente x\mapsto \mathrm{e}^{-2x} vai a zero quando x\to\infty.

Passo 4

Substituindo esse resultado em
a_n = \frac{1 - \mathrm{e}^{-2n}}{1 + \mathrm{e}^{-2n}},
concluímos
\lim_{n\to\infty}a_n = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 1.

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