Determine se as sequências convergem ou divergem. Se ela convergir, determine seu limite:
a_{n}=\left(\frac{n-3}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
a_{n} = \Bigl(\tfrac{n-3}{n}\Bigr)^{n}
verificando se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, encontrar o limite. O conteúdo principal aqui é o uso de limites exponenciais e logaritmos para sequências da forma \bigl(1 + \tfrac{x}{n}\bigr)^{n}.

Passo 2

Reescrevemos a_{n} de modo a evidenciar o padrão exponencial:
a_{n} = \Bigl(\tfrac{n-3}{n}\Bigr)^{n} = \Bigl(1 - \tfrac{3}{n}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Para lidar com potências em que o expoente também cresce, é útil tomar o logaritmo natural. Definindo
L_{n} = \ln(a_{n})
temos
L_{n} = n \,\ln\!\Bigl(1 - \tfrac{3}{n}\Bigr).
Quando n\to\infty, o termo -\tfrac{3}{n}\to0 e podemos usar a expansão
\ln(1+u)=u+o(u)\quad(u\to0),
com u=-\tfrac{3}{n}. Logo
\ln\!\Bigl(1 - \tfrac{3}{n}\Bigr) = -\tfrac{3}{n} + o\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr),
e multiplicando por n vem
L_{n} = n\Bigl(-\tfrac{3}{n} + o(\tfrac{1}{n})\Bigr) = -3 + o(1).
Portanto
\lim_{n\to\infty}L_{n} = -3.

Passo 4

Como a exponencial é contínua, temos
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}e^{L_{n}} = e^{-3}.
Isso mostra que a sequência converge e que seu valor de limite é e^{-3}.

Resposta

A sequência \bigl(a_{n}\bigr) converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n} = e^{-3}.

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