Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência converge ou diverge e, se convergir, calcular o limite. A sequência dada é
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A fórmula explícita da sequência:
. - A variável que tende a infinito é
(estudamos ).
O objetivo é decidir convergência quandoe, em caso afirmativo, encontrar .
Passo 2
Simplificar a expressão para facilitar o estudo do limite. Usando a propriedade do logaritmo
, obtemos
Esta manipulação é válida para
. Assim basta estudar o comportamento de
quando
, pois
se o limite à direita existir.
Passo 3
Transformar o problema de sequência num problema de função contínua (um truque comum): considere a função
Se
existir, então
(porque os valores da sequência são os valores da função em inteiros). Portanto vamos calcular
.
Passo 4
Aplicar o critério de L’Hôpital para a função
.
- Primeiro verificar a forma indeterminada: quando
, e , logo temos a forma , que permite usar L’Hôpital. - Derivando numerador e denominador em relação a
: -
, -
.
Pelo teorema de L’Hôpital,
-
Assim
.
Observação didática sobre L’Hôpital: serve para limites do tipo
ou
; consiste em derivar numerador e denominador e avaliar o novo limite, quando as hipóteses do teorema são satisfeitas.
Passo 5
Concluir o limite da sequência original usando a simplificação do Passo 2:
Intuição extra (sem prova formal): o logaritmo cresce muito mais devagar que uma função linear, por isso
fica “pequeno” comparado a
quando
é grande, fazendo a razão tender a zero. Exemplos numéricos para ver o decaimento:
já se nota a aproximação a
.
Resposta
A sequência converge e
.