Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
a_{n}=\frac{\ln \left(n^{2}\right)}{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência converge ou diverge e, se convergir, calcular o limite. A sequência dada é
a_{n}=\frac{\ln\left(n^{2}\right)}{n}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A fórmula explícita da sequência: a_{n}=\dfrac{\ln\left(n^{2}\right)}{n}.
  • A variável que tende a infinito é n (estudamos n\to\infty).
    O objetivo é decidir convergência quando n\to\infty e, em caso afirmativo, encontrar \lim_{n\to\infty}a_n.

Passo 2

Simplificar a expressão para facilitar o estudo do limite. Usando a propriedade do logaritmo \ln\left(n^{2}\right)=2\ln n, obtemos
a_{n}= \frac{2\ln n}{n}.
Esta manipulação é válida para n\ge 1. Assim basta estudar o comportamento de \dfrac{\ln n}{n} quando n\to\infty, pois
\lim_{n\to\infty} a_n = 2\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}
se o limite à direita existir.

Passo 3

Transformar o problema de sequência num problema de função contínua (um truque comum): considere a função
f(x)=\frac{\ln x}{x},\qquad x>0.
Se \lim_{x\to\infty} f(x)=L existir, então \lim_{n\to\infty} \dfrac{\ln n}{n}=L (porque os valores da sequência são os valores da função em inteiros). Portanto vamos calcular \lim_{x\to\infty}\dfrac{\ln x}{x}.

Passo 4

Aplicar o critério de L’Hôpital para a função f(x)=\dfrac{\ln x}{x}.
  • Primeiro verificar a forma indeterminada: quando x\to\infty, \ln x\to\infty e x\to\infty, logo temos a forma \dfrac{\infty}{\infty}, que permite usar L’Hôpital.
  • Derivando numerador e denominador em relação a x:
    • \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x},
    • \dfrac{d}{dx}(x)=1.
      Pelo teorema de L’Hôpital,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.
Assim \lim_{n\to\infty}\dfrac{\ln n}{n}=0.
Observação didática sobre L’Hôpital: serve para limites do tipo \dfrac{\infty}{\infty} ou \dfrac{0}{0}; consiste em derivar numerador e denominador e avaliar o novo limite, quando as hipóteses do teorema são satisfeitas.

Passo 5

Concluir o limite da sequência original usando a simplificação do Passo 2:
\lim_{n\to\infty} a_n = 2\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n} = 2\cdot 0 = 0.
Intuição extra (sem prova formal): o logaritmo cresce muito mais devagar que uma função linear, por isso \ln n fica “pequeno” comparado a n quando n é grande, fazendo a razão tender a zero. Exemplos numéricos para ver o decaimento:
a_{10}=\frac{\ln(10^{2})}{10}\approx\frac{4{,}605}{10}=0{,}4605, \qquad a_{100}=\frac{\ln(100^{2})}{100}\approx\frac{9{,}210}{100}=0{,}09210,
já se nota a aproximação a 0.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0.

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