Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
a_{n}=\cos \frac{n \pi}{2}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \,a_{n}=\cos\frac{n\pi}{2}\, e pede para determinar se ela converge ou diverge; no caso de convergência, calcular o limite.
Informações que temos:
  • A expressão geral de cada termo é \,a_{n}=\cos\frac{n\pi}{2}\,.
  • Quer-se saber se existe um número L tal que \lim_{n\to\infty}a_{n}=L.

Passo 2

Vamos calcular os primeiros termos para identificar um padrão (a conta está sendo feita substituindo n=1,2,3,4,\dots na fórmula):
  • Para n=1: \displaystyle a_{1}=\cos\frac{\pi}{2}=0.
  • Para n=2: \displaystyle a_{2}=\cos\pi=-1.
  • Para n=3: \displaystyle a_{3}=\cos\frac{3\pi}{2}=0.
  • Para n=4: \displaystyle a_{4}=\cos 2\pi=1.
  • Para n=5: \displaystyle a_{5}=\cos\frac{5\pi}{2}=0.
Portanto os termos seguem a sequência periódica
0,\,-1,\,0,\,1,\,0,\,-1,\,0,\,1,\dots

Passo 3

Formalizando o padrão por classes de resto módulo 4: para n\in\mathbb{N} vale
  • se n\equiv 0\pmod{4} então \displaystyle a_{n}=1;
  • se n\equiv 1\pmod{4} então \displaystyle a_{n}=0;
  • se n\equiv 2\pmod{4} então \displaystyle a_{n}=-1;
  • se n\equiv 3\pmod{4} então \displaystyle a_{n}=0.
Assim temos três valores distintos que aparecem como limites de subsequências:
  • subsequência a_{4k}=1 (para k\ge1) tem limite 1;
  • subsequência a_{4k+2}=-1 tem limite -1;
  • subsequência a_{2k+1}=0 (os ímpares) tem limite 0.

Passo 4

Usamos um fato básico sobre convergência: se uma sequência \,a_{n}\, converge para algum L então todas as suas subsequências também convergem e todas têm o mesmo limite L. Aqui encontramos subsequências com limites distintos ( 1, -1 e 0), logo não pode existir um único L comum a todas. Para uma demonstração por contradição, suponha que \lim_{n\to\infty}a_{n}=L. Escolha \varepsilon=\tfrac{1}{2}. Então existe N tal que para todo n\ge N vale |a_{n}-L|<\tfrac{1}{2}. Tome n_{1}=4k\ge N e n_{2}=4k+2\ge N (existem tais k grandes). Então
|1-L|=|a_{n_{1}}-L|<\tfrac{1}{2}, \qquad |-1-L|=|a_{n_{2}}-L|<\tfrac{1}{2}.
Pela desigualdade triangular isso implica
|1-(-1)| \le |1-L| + |-1-L| < \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 1,
mas o lado esquerdo é |2|=2, contradição. Logo não existe L com \lim_{n\to\infty}a_{n}=L.

Passo 5

Conclusão: a sequência não converge; ela é periódica de período 4 e assume pelo menos os três valores 1,0,-1 infinitamente vezes, impedindo a existência de um limite único.

Resposta

A sequência \,a_{n}=\cos\frac{n\pi}{2}\, diverge (não possui limite).

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