Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se ela converge ou diverge; no caso de convergência, calcular o limite.
Informações que temos:
Informações que temos:
- A expressão geral de cada termo é
. - Quer-se saber se existe um número
tal que .
Passo 2
Vamos calcular os primeiros termos para identificar um padrão (a conta está sendo feita substituindo
na fórmula):
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Portanto os termos seguem a sequência periódica
Passo 3
Formalizando o padrão por classes de resto módulo
: para
vale
- se
então ; - se
então ; - se
então ; - se
então .
Assim temos três valores distintos que aparecem como limites de subsequências:
- subsequência
(para ) tem limite ; - subsequência
tem limite ; - subsequência
(os ímpares) tem limite .
Passo 4
Usamos um fato básico sobre convergência: se uma sequência
converge para algum
então todas as suas subsequências também convergem e todas têm o mesmo limite
. Aqui encontramos subsequências com limites distintos (
,
e
), logo não pode existir um único
comum a todas. Para uma demonstração por contradição, suponha que
. Escolha
. Então existe
tal que para todo
vale
. Tome
e
(existem tais
grandes). Então
Pela desigualdade triangular isso implica
mas o lado esquerdo é
, contradição. Logo não existe
com
.
Passo 5
Conclusão: a sequência não converge; ela é periódica de período
e assume pelo menos os três valores
infinitamente vezes, impedindo a existência de um limite único.
Resposta
A sequência
diverge (não possui limite).