Determine se as sequências dadas são monótonas.
a_{n}=(-1)^{n}\left(\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a sequência a_{n}=(-1)^{n}\left(\frac{1}{n}\right) é monótona.
Informações fornecidas:
  • A regra geral da sequência é a_{n}=(-1)^{n}\left(\dfrac{1}{n}\right).
  • Vou assumir que n\in\mathbb{N} e n\ge 1 (índice natural começando em 1).
    A pergunta é única: a sequência é monótona? (isto é, é crescente para todo n ou decrescente para todo n ou nenhuma das duas?)

Passo 2

Definições que vamos usar (curtinho e claro):
  • A sequência \{a_n\} é monotone crescente (ou não decrescente) se vale
a_{n+1}\ge a_n\quad\text{para todo }n.
  • A sequência \{a_n\} é monotone decrescente (ou não crescente) se vale
a_{n+1}\le a_n\quad\text{para todo }n.
Se nenhuma das duas propriedades vale para todo n, dizemos que a sequência não é monótona. Essas desigualdades devem valer para todo n a partir do índice inicial.

Passo 3

Vamos olhar os primeiros termos para ter intuição (faça isto sempre na prova — dá um feeling imediato):
  • a_{1}=(-1)^{1}\dfrac{1}{1}=-1.
  • a_{2}=(-1)^{2}\dfrac{1}{2}=+\dfrac{1}{2}.
  • a_{3}=(-1)^{3}\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{3}.
  • a_{4}=(-1)^{4}\dfrac{1}{4}=+\dfrac{1}{4}.
    Ou seja, os termos alternam de sinal: negativo quando n ímpar, positivo quando n par, e o valor absoluto vai diminuindo para 0. Isso já sugere que a sequência sobe e desce alternadamente — comportamento que normalmente impede monotonicidade global.

Passo 4

Mostrando formalmente que a sequência não pode ser crescente nem decrescente, analisando pares consecutivos conforme a paridade de n.
Considere n par, escreva n=2k com k\ge1. Então
a_{2k}=\dfrac{1}{2k}, \qquad a_{2k+1}=-\dfrac{1}{2k+1}.
Como -\dfrac{1}{2k+1}<0<\dfrac{1}{2k}, tem-se
a_{2k+1}<a_{2k}.
Portanto, para todo k, quando n é par ocorre a_{n+1}<a_n. Isso impede que a sequência seja crescente (pois para ser crescente precisaríamos de a_{n+1}\ge a_n para todo n).
Agora considere n ímpar, escreva n=2k-1 com k\ge1. Então
a_{2k-1}=-\dfrac{1}{2k-1}, \qquad a_{2k}=\dfrac{1}{2k}.
Como -\dfrac{1}{2k-1}<\dfrac{1}{2k}, tem-se
a_{2k}>a_{2k-1}.
Ou seja, para todo k ocorre a_{n+1}>a_n quando n é ímpar. Isso impede que a sequência seja decrescente (pois para ser decrescente precisaríamos de a_{n+1}\le a_n para todo n).
Dos dois itens acima concluímos formalmente que a sequência não é nem crescente nem decrescente.

Passo 5

Para fixar a intuição e aprender uma técnica útil (que cai bem na prova): veja os subsequências por paridade.
  • Subsequência dos termos com n par: escrevendo n=2k,
a_{2k}=\dfrac{1}{2k}.
Compare a_{2(k+1)}=\dfrac{1}{2k+2} com a_{2k}=\dfrac{1}{2k}. Como 2k+2>2k segue
\dfrac{1}{2k+2}<\dfrac{1}{2k},
portanto a subsequência \{a_{2k}\} é decrescente e positiva, converge para 0.
  • Subsequência dos termos com n ímpar: escrevendo n=2k-1,
a_{2k-1}=-\dfrac{1}{2k-1}.
Compare a_{2k+1}=-\dfrac{1}{2k+1} com a_{2k-1}=-\dfrac{1}{2k-1}. Como 2k+1>2k-1 temos
-\dfrac{1}{2k+1}>-\dfrac{1}{2k-1},
portanto a subsequência \{a_{2k-1}\} é crescente (os números são negativos, mas ficam “menos negativos”), e também converge para 0.
Então: os dois “ramos” (pares e ímpares) são monotônicos, mas em sentidos opostos — por isso a sequência completa alterna e não é monotônica.

Passo 6

Resumo pedagógico e dica rápida para prova: quando uma sequência tem um fator alternante como (-1)^n geralmente os termos mudam de sinal e você deve checar pares consecutivos ou separar em subsequências por paridade. Se encontrar um índice onde a_{n+1}<a_n e outro onde a_{m+1}>a_m, isso já mostra que não há monotonicidade global.

Resposta

A sequência não é monótona.

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