Determine se as sequências dadas são monótonas.
Passo 1
O enunciado pede: determinar se a sequência
é monótona.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A regra geral da sequência é
. - Vou assumir que
e (índice natural começando em ).
A pergunta é única: a sequência é monótona? (isto é, é crescente para todoou decrescente para todo ou nenhuma das duas?)
Passo 2
Definições que vamos usar (curtinho e claro):
- A sequência
é monotone crescente (ou não decrescente) se vale
- A sequência
é monotone decrescente (ou não crescente) se vale
Se nenhuma das duas propriedades vale para todo
, dizemos que a sequência não é monótona. Essas desigualdades devem valer para todo
a partir do índice inicial.
Passo 3
Vamos olhar os primeiros termos para ter intuição (faça isto sempre na prova — dá um feeling imediato):
-
-
-
-
Ou seja, os termos alternam de sinal: negativo quandoímpar, positivo quando par, e o valor absoluto vai diminuindo para . Isso já sugere que a sequência sobe e desce alternadamente — comportamento que normalmente impede monotonicidade global.
Passo 4
Mostrando formalmente que a sequência não pode ser crescente nem decrescente, analisando pares consecutivos conforme a paridade de
.
Considere
par, escreva
com
. Então
Como
, tem-se
Portanto, para todo
, quando
é par ocorre
. Isso impede que a sequência seja crescente (pois para ser crescente precisaríamos de
para todo
).
Agora considere
ímpar, escreva
com
. Então
Como
, tem-se
Ou seja, para todo
ocorre
quando
é ímpar. Isso impede que a sequência seja decrescente (pois para ser decrescente precisaríamos de
para todo
).
Dos dois itens acima concluímos formalmente que a sequência não é nem crescente nem decrescente.
Passo 5
Para fixar a intuição e aprender uma técnica útil (que cai bem na prova): veja os subsequências por paridade.
- Subsequência dos termos com
par: escrevendo ,
Compare
com
. Como
segue
portanto a subsequência
é decrescente e positiva, converge para
.
- Subsequência dos termos com
ímpar: escrevendo ,
Compare
com
. Como
temos
portanto a subsequência
é crescente (os números são negativos, mas ficam “menos negativos”), e também converge para
.
Então: os dois “ramos” (pares e ímpares) são monotônicos, mas em sentidos opostos — por isso a sequência completa alterna e não é monotônica.
Passo 6
Resumo pedagógico e dica rápida para prova: quando uma sequência tem um fator alternante como
geralmente os termos mudam de sinal e você deve checar pares consecutivos ou separar em subsequências por paridade. Se encontrar um índice onde
e outro onde
, isso já mostra que não há monotonicidade global.
Resposta
A sequência não é monótona.