Escreva os cinco primeiros termos das sequências cujos
-ésimos termos são dados a seguir.
Passo 1
O enunciado pede: escrever os cinco primeiros termos da sequência cujo
-ésimo termo é dado por
As perguntas explícitas que precisamos responder são: encontrar
,
,
,
e
.
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
- A fórmula para o termo geral é
. - Precisamos dos cinco primeiros termos, ou seja, dos valores para
.
Passo 2
Entender o que aparece na fórmula: duas coisas importantes são a potência
e o fatorial
.
- Fatorial:
significa o produto dos inteiros positivos de até . Vou calcular os fatoriais necessários: -
. (Por definição .) -
. -
. -
. -
.
-
Explicação curta: fatorial cresce rápido porque a cada passo multiplica-se pelo próximo inteiro. Esses valores vão ser os denominadores quando calcularmos
.
Passo 3
Agora calcular as potências
para
a
:
-
. -
. -
. -
. -
.
Explicação: potência é multiplicar a base
por ela mesma
vezes.
Passo 4
Agora montamos cada termo
substituindo numerador e denominador pelos valores calculados:
-
. -
. -
. -
. -
.
Esses são os valores em forma de fração sem ainda simplificar.
Passo 5
Vamos simplificar cada fração (dividir numerador e denominador pelo máximo divisor comum quando possível) e também dar o valor decimal para ficar mais intuitivo.
- Para
: . (já simples) - Para
: já está em forma irredutível; em decimal é . - Para
: . O máximo divisor comum é , então . Em decimal é . (Observação interessante: .) - Para
: . O máximo divisor comum é , então . Em decimal . - Para
: . O máximo divisor comum é , então . Em decimal .
Dica prática para simplificar: tente dividir por
,
,
etc. até não ser mais possível — aqui todas as simplificações foram por
quando aplicável.
Passo 6
Recapitulando o método (útil para a prova): para qualquer sequência dada por
,
- calcule
para o desejado; - calcule
; - forme a fração e simplifique dividindo pelo gcd se possível;
- se precisar, passe para decimal para comparar ou interpretar o comportamento (aqui os termos tendem a diminuir depois de certo ponto porque
cresce mais rápido que ).
Força aí — você já viu passo a passo e conseguirá fazer para outros
facilmente!