Escreva os cinco primeiros termos das sequências cujos n-ésimos termos são dados a seguir.
a_{n}=\frac{3^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede: escrever os cinco primeiros termos da sequência cujo n-ésimo termo é dado por
a_{n}=\frac{3^{n}}{n!}.
As perguntas explícitas que precisamos responder são: encontrar a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} e a_{5}.
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
  • A fórmula para o termo geral é a_{n}=\dfrac{3^{n}}{n!}.
  • Precisamos dos cinco primeiros termos, ou seja, dos valores para n=1,2,3,4,5.

Passo 2

Entender o que aparece na fórmula: duas coisas importantes são a potência 3^{n} e o fatorial n!.
  • Fatorial: n! significa o produto dos inteiros positivos de 1 até n. Vou calcular os fatoriais necessários:
    • 1! = 1. (Por definição 1!=1.)
    • 2! = 2\cdot1 = 2.
    • 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6.
    • 4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24.
    • 5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120.
Explicação curta: fatorial cresce rápido porque a cada passo multiplica-se pelo próximo inteiro. Esses valores vão ser os denominadores quando calcularmos a_{n}.

Passo 3

Agora calcular as potências 3^{n} para n=1 a 5:
  • 3^{1}=3.
  • 3^{2}=3\cdot3=9.
  • 3^{3}=3\cdot3\cdot3=27.
  • 3^{4}=3\cdot3\cdot3\cdot3=81.
  • 3^{5}=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=243.
Explicação: potência é multiplicar a base 3 por ela mesma n vezes.

Passo 4

Agora montamos cada termo a_{n}=\dfrac{3^{n}}{n!} substituindo numerador e denominador pelos valores calculados:
  • a_{1}=\dfrac{3^{1}}{1!}=\dfrac{3}{1}.
  • a_{2}=\dfrac{3^{2}}{2!}=\dfrac{9}{2}.
  • a_{3}=\dfrac{3^{3}}{3!}=\dfrac{27}{6}.
  • a_{4}=\dfrac{3^{4}}{4!}=\dfrac{81}{24}.
  • a_{5}=\dfrac{3^{5}}{5!}=\dfrac{243}{120}.
Esses são os valores em forma de fração sem ainda simplificar.

Passo 5

Vamos simplificar cada fração (dividir numerador e denominador pelo máximo divisor comum quando possível) e também dar o valor decimal para ficar mais intuitivo.
  • Para a_{1}: \dfrac{3}{1}=3. (já simples)
  • Para a_{2}: \dfrac{9}{2} já está em forma irredutível; em decimal é 4{,}5.
  • Para a_{3}: \dfrac{27}{6}. O máximo divisor comum é 3, então \dfrac{27}{6}=\dfrac{9}{2}. Em decimal é 4{,}5. (Observação interessante: a_{2}=a_{3}.)
  • Para a_{4}: \dfrac{81}{24}. O máximo divisor comum é 3, então \dfrac{81}{24}=\dfrac{27}{8}. Em decimal \dfrac{27}{8}=3{,}375.
  • Para a_{5}: \dfrac{243}{120}. O máximo divisor comum é 3, então \dfrac{243}{120}=\dfrac{81}{40}. Em decimal \dfrac{81}{40}=2{,}025.
Dica prática para simplificar: tente dividir por 2, 3, 5 etc. até não ser mais possível — aqui todas as simplificações foram por 3 quando aplicável.

Passo 6

Recapitulando o método (útil para a prova): para qualquer sequência dada por a_{n}=\dfrac{b^{n}}{n!},
  1. calcule n! para o n desejado;
  2. calcule b^{n};
  3. forme a fração e simplifique dividindo pelo gcd se possível;
  4. se precisar, passe para decimal para comparar ou interpretar o comportamento (aqui os termos tendem a diminuir depois de certo ponto porque n! cresce mais rápido que b^{n}).
Força aí — você já viu passo a passo e conseguirá fazer para outros n facilmente!

Resposta

a_{1}=3
a_{2}=\dfrac{9}{2}=4{,}5
a_{3}=\dfrac{9}{2}=4{,}5
a_{4}=\dfrac{27}{8}=3{,}375
a_{5}=\dfrac{81}{40}=2{,}025

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