Escreva os cinco primeiros termos das sequências cujos n-ésimos termos são dados a seguir.
a_{n}=\frac{3 n!}{(n-1)!}

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujo termo geral é a_{n}=\dfrac{3\,n!}{(n-1)!} e pede: escrever os cinco primeiros termos, isto é, calcular a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}. As informações relevantes são:
  • A fórmula do termo geral: a_{n}=\dfrac{3\,n!}{(n-1)!}.
  • Devemos calcular para n=1,2,3,4,5.

Passo 2

Lembrete sobre fatorial (explicação didática): para inteiro n\ge1, o fatorial é definido recursivamente por
n! = n\cdot (n-1)!.
Além disso, por convenção, 0!=1. A partir disso, podemos simplificar a razão de fatoriais que aparece em a_{n}.

Passo 3

Usando a identidade n! = n\cdot (n-1)!, dividimos ambos os lados por (n-1)! e obtemos
\frac{n!}{(n-1)!}=n.
Portanto a expressão para a_{n} simplifica para
a_{n}=3\cdot n.
Ou seja, cada termo é três vezes o índice n — isso facilita muito os cálculos.

Passo 4

Calcular a_{1}. Substituindo n=1 na forma simplificada a_{n}=3n:
a_{1}=3\cdot 1=3.
Observação: na forma original isso corresponde a \dfrac{3\cdot 1!}{(1-1)!}=\dfrac{3\cdot 1}{0!}=\dfrac{3}{1}=3, consistente.

Passo 5

Calcular a_{2}. Substituindo n=2:
a_{2}=3\cdot 2=6.

Passo 6

Calcular a_{3}. Substituindo n=3:
a_{3}=3\cdot 3=9.

Passo 7

Calcular a_{4}. Substituindo n=4:
a_{4}=3\cdot 4=12.

Passo 8

Calcular a_{5}. Substituindo n=5:
a_{5}=3\cdot 5=15.

Resposta

3,6,9,12,15

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