Determine se as sequências são de Cauchy:
b_{n}=(-1)^{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência (b_n) em \mathbb{R} definida por
b_n = (-1)^n
e pede para verificar se ela é de Cauchy. Vamos usar a definição: uma sequência (b_n) é de Cauchy se, para todo \varepsilon > 0, existe N tal que, para todos m,n > N,
|b_n - b_m| < \varepsilon.

Passo 2

Segundo essa definição, a ideia é mostrar que, escolhendo um \varepsilon adequado, não conseguimos tornar |b_n - b_m| arbitrariamente pequeno para todos os m,n grandes.

Passo 3

Observe que a sequência oscila entre 1 e -1. Vamos tomar
\varepsilon = 1.
Se (b_n) fosse de Cauchy, existiria N tal que, para todo m,n > N, tivéssemos
|b_n - b_m| < 1.

Passo 4

Entretanto, para qualquer N podemos escolher n par e m ímpar, ambos maiores que N. Nesse caso
|b_n - b_m| = \bigl|(-1)^n - (-1)^m\bigr| = |1 - (-1)| = 2 \ge 2 > 1,
o que contradiz a condição de Cauchy.

Resposta

A sequência (b_n) não é de Cauchy.

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