Determine se as sequências são de Cauchy:
a_{n}=\frac{1}{n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
a_{n} = \frac{1}{n}
é de Cauchy. O conteúdo envolvido é a definição de sequência de Cauchy, que em \mathbb{R} diz que toda sequência convergente é Cauchy.

Passo 2

A definição de sequência de Cauchy é:
para todo \varepsilon > 0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para quaisquer m,n \ge N,
\bigl|a_{n} - a_{m}\bigr| < \varepsilon.

Passo 3

Vamos mostrar diretamente que (a_{n}) satisfaz essa condição. Seja \varepsilon>0. Escolha um índice N inteiro tal que
N > \frac{2}{\varepsilon}.
Então, para quaisquer m,n \ge N, temos
\bigl|a_{n} - a_{m}\bigr| = \Bigl|\frac{1}{n} - \frac{1}{m}\Bigr| \le \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \le \frac{1}{N} + \frac{1}{N} = \frac{2}{N} < \varepsilon.
Isso mostra que a condição de Cauchy é satisfeita.

Resposta

A sequência a_{n} = \tfrac{1}{n} é de Cauchy.

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