Determine se as sequências são de Cauchy:
c_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência de termos parciais da série harmônica
c_n = 1 + \frac12 + \frac13 + \cdots + \frac1n
é uma sequência de Cauchy. O conteúdo envolvido é a definição de sequência de Cauchy em \mathbb{R} e o fato de que em \mathbb{R} toda sequência de Cauchy converge.

Passo 2

Lembramos que uma sequência (c_n) é de Cauchy se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que, para todos m,n>N,
|c_m - c_n| < \varepsilon.
Em \mathbb{R}, isso equivale a (c_n) ser convergente.

Passo 3

É conhecido que a série harmônica diverge, ou seja,
c_n \to +\infty
quando n \to \infty. Logo (c_n) não converge em \mathbb{R} e, portanto, não pode ser de Cauchy.

Passo 4

Para tornar isso mais explícito pelo critério de Cauchy, escolhamos \varepsilon = \tfrac12. Seja qualquer N. Tome n > N e considere m = 2n. Então
c_{2n} - c_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n}.
Como em cada um dos n termos temos \frac{1}{k}\ge \frac{1}{2n}, obtemos
c_{2n} - c_n \;\ge\; n\cdot \frac{1}{2n} \;=\; \frac12 = \varepsilon.
Isso mostra que, não importando quão grande seja N, podemos achar m,n>N com |c_m - c_n|\ge \tfrac12. Portanto o critério de Cauchy falha.

Resposta

A sequência (c_n) não é de Cauchy.

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