Determine se as sequências são de Cauchy:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a sequência de termos parciais da série harmônica
é uma sequência de Cauchy. O conteúdo envolvido é a definição de sequência de Cauchy em
e o fato de que em
toda sequência de Cauchy converge.
Passo 2
Lembramos que uma sequência
é de Cauchy se, para todo
, existe
tal que, para todos
,
Em
, isso equivale a
ser convergente.
Passo 3
É conhecido que a série harmônica diverge, ou seja,
quando
. Logo
não converge em
e, portanto, não pode ser de Cauchy.
Passo 4
Para tornar isso mais explícito pelo critério de Cauchy, escolhamos
. Seja qualquer
. Tome
e considere
. Então
Como em cada um dos
termos temos
, obtemos
Isso mostra que, não importando quão grande seja
, podemos achar
com
. Portanto o critério de Cauchy falha.
Resposta
A sequência
não é de Cauchy.