Use o Teorema da Sequência Monótona para mostrar que as sequências convergem:
Passo 1
O enunciado define a sequência de somas parciais
e pede para mostrar que ela converge usando o Teorema da Sequência Monótona. Para isso, vamos verificar dois pontos:
- Que
é monótona crescente. - Que
é limitada superiormente.
Passo 2
Mostramos que
é crescente observando a diferença entre termos consecutivos. Para todo
:
Como a diferença é sempre positiva,
e, portanto, a sequência é estritamente crescente.
Passo 3
Agora vamos achar um majorante (uma cota superior) para
. Note que, para todo
, temos
Somando essa desigualdade de
até
, obtemos
Logo,
Portanto,
é limitada superiormente por
.
Passo 4
Pelo Teorema da Sequência Monótona, toda sequência monótona crescente e limitada superiormente converge. Como mostramos que
é crescente e
para todo
, concluímos que
converge.
Resposta
A sequência
converge.