Use o Teorema da Sequência Monótona para mostrar que as sequências convergem:
a_{n}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado define a sequência de somas parciais
a_{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}
e pede para mostrar que ela converge usando o Teorema da Sequência Monótona. Para isso, vamos verificar dois pontos:
  1. Que \{a_{n}\} é monótona crescente.
  2. Que \{a_{n}\} é limitada superiormente.

Passo 2

Mostramos que \{a_{n}\} é crescente observando a diferença entre termos consecutivos. Para todo n\ge1:
a_{n+1} - a_{n} = \Bigl(\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k^{2}}\Bigr) - \Bigl(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{2}}\Bigr) = \frac{1}{(n+1)^{2}} > 0.
Como a diferença é sempre positiva, a_{n+1}>a_{n} e, portanto, a sequência é estritamente crescente.

Passo 3

Agora vamos achar um majorante (uma cota superior) para \{a_{n}\}. Note que, para todo k\ge2, temos
\frac{1}{k^{2}} \;\le\; \int_{k-1}^{k}\frac{1}{x^{2}}\,dx \;=\;\bigl[-\tfrac{1}{x}\bigr]_{k-1}^{\,k} \;=\;\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}.
Somando essa desigualdade de k=2 até k=n, obtemos
\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^{2}} \;\le\;\sum_{k=2}^{n}\Bigl(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\Bigr) \;=\;1 - \frac{1}{n}.
Logo,
a_{n} = \frac{1}{1} + \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^{2}} \;\le\;1 + \Bigl(1 - \frac{1}{n}\Bigr) \;=\;2 - \frac{1}{n} \;<\;2.
Portanto, \{a_{n}\} é limitada superiormente por 2.

Passo 4

Pelo Teorema da Sequência Monótona, toda sequência monótona crescente e limitada superiormente converge. Como mostramos que \{a_{n}\} é crescente e a_{n}<2 para todo n, concluímos que \{a_{n}\} converge.

Resposta

A sequência \displaystyle a_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{2}} converge.

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