Determine se as sequências são convergentes ou divergentes. Caso sejam convergentes, encontre o seu limite.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede para determinar se
converge ou diverge e, em caso de convergência, encontrar seu limite. O conteúdo principal é o limite de sequências do tipo
que se relaciona com a função exponencial.
Passo 2
Para explorar o limite, é conveniente trabalhar com o logaritmo natural de
. Definimos
Em seguida usamos a expansão em série para
quando
:
Aqui
, que satisfaz
quando
.
Passo 3
Aplicando a expansão temos
Tomando
obtemos
Passo 4
Como o logaritmo converge para
, segue que
Portanto, a sequência é convergente.
Resposta
A sequência converge e