Determine se as sequências são convergentes ou divergentes. Caso sejam convergentes, encontre o seu limite.
(1+13 n)^n

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = l(1 + 13nr)^n,
e pede para determinar se an converge ou diverge e, em caso de convergência, encontrar seu limite. O conteúdo principal é o limite de sequências do tipo l(1 + tfracxnr)^n que se relaciona com a função exponencial.

Passo 2

Para explorar o limite, é conveniente trabalhar com o logaritmo natural de an. Definimos
ln an = n ,lnl(1 + 13nr)
Em seguida usamos a expansão em série para ln(1+u) quando uto0:
ln(1+u) = u - u^22 + o(u^2)
Aqui u = tfrac13n, que satisfaz uto0 quando ntoinfty.

Passo 3

Aplicando a expansão temos
ln an = nl(tfrac13n - 12,1(3n)^2 + ol(tfrac1n^2r)r) = 13 - 118,n + ol(tfrac1nr)
Tomando ntoinfty obtemos
limntoinfty ln an = 13

Passo 4

Como o logaritmo converge para tfrac13, segue que
limntoinfty an = limntoinfty e^ln an = e^,tfrac13
Portanto, a sequência é convergente.

Resposta

A sequência converge e
limntoinfty l(1 + 13nr)^n = e^tfrac13

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