Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral0^12 d xx raiz[3]ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência e, se possível, calcular a integral imprópria
integral0^tfrac12dxx,raiz[3]ln(x)
O ponto crítico é xto0^+, pois ln(x)to-infty torna a integral imprópria.

Passo 2

Para tratar a singularidade em x=0, faça a troca de variável
u = -ln(x),
então x = e^-u e
dx = -e^-u,du
Quando xto0^+, uto+infty; quando x=tfrac12, u=-ln(tfrac12)=ln2.

Passo 3

Reescrevendo o integrando: como ln(x)=-u,
raiz[3]ln(x) = raiz[3]-u = -,u^1/3
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dxx,raiz[3]ln(x) = -e^-u,due^-u,(-,u^1/3) = duu^1/3
Assim a integral vira
integralx=0^1/2dxx,raiz[3]ln(x) = integralu=+infty^ln2u^-1/3,du = -integralln2^+inftyu^-1/3,du

Passo 4

Calcule o comportamento em uto+infty:
integralln2^Mu^-1/3,du = [u^2/32/3]ln2^M = 32l(M^2/3-(ln2)^2/3r)
Ao fazer Mto+infty, M^2/3to+infty, então
integralln2^+inftyu^-1/3,du=+infty.
Portanto a integral original diverge (tende a -infty, pois há o sinal negativo).

Resposta

A integral é divergente.

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