Determine se as sequências são convergentes ou divergentes. Caso sejam convergentes, encontre o seu limite.
1raizn^2+1-n

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = 1raizn^2+1-n
e pede para decidir se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, achar o limite. O conteúdo aqui é limites de sequências e vamos precisar usar racionalização de denominador e propriedades de comparação de infinitos.

Passo 2

Racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador pela conjugada raizn^2+1+n:
an = 1raizn^2+1-n;cdot;raizn^2+1+nraizn^2+1+n = raizn^2+1+n(raizn^2+1)^2-n^2 = raizn^2+1+n

Passo 3

Para n grande vale raizn^2+1>n, logo
an=raizn^2+1+n>2n
Como 2nto+infty quando ntoinfty, temos
anto+infty
e, portanto, a sequência diverge.

Resposta

A sequência é divergente (tende a +infty).

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