Determine se as sequências são convergentes ou divergentes
f(n)=2 n^2+13 n^2-n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a sequência $ f(n) = \frac{2n^{2} + 1}{3n^{2} - n} $ é convergente ou divergente. Vamos trabalhar com o conteúdo de limites de sequências, que nos ajuda a entender o comportamento das sequências quando $ n $ tende ao infinito. Para resolver isso, vamos analisar o limite de $ f(n) $ quando $ n $ cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a análise do limite. A função é:
f(n) = 2n^2 + 13n^2 - n
Observamos que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de segundo grau. Quando lidamos com limites de polinômios, geralmente comparamos os maiores termos de cada um.

Passo 3

Identificamos os termos de maior grau no numerador e no denominador:
  • No numerador, o termo de maior grau é $ 2n^{2} $.
  • No denominador, o termo de maior grau é $ 3n^{2} $.
Esses termos vão dominar o comportamento da função quando $ n $ tende ao infinito.

Passo 4

Vamos simplificar a função dividindo cada termo do numerador e do denominador por $ n^{2} $, que é o termo de maior grau:
n^2
Simplificando cada termo:
f(n) = 2n^2/n^2 + 1/n^23n^2/n^2 - n/n^2

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento quando $ n $ tende ao infinito:
  • $ \frac{1}{n^{2}} $ tende a 0.
  • $ \frac{1}{n} $ também tende a 0.
Portanto, a expressão simplificada fica:
n

Passo 6

Finalmente, como o limite de $ f(n) $ quando $ n $ tende ao infinito é $ \frac{2}{3} $, concluímos que a sequência é convergente e o seu limite é $ \frac{2}{3} $.

Resposta

A sequência $ f(n) = \frac{2n^{2} + 1}{3n^{2} - n} $ é convergente, com limite igual a $ \frac{2}{3} $.

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