Determine se as sequências são convergentes ou divergentes
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a sequência $ f(n) = \frac{2n^{2} + 1}{3n^{2} - n} $ é convergente ou divergente. Vamos trabalhar com o conteúdo de limites de sequências, que nos ajuda a entender o comportamento das sequências quando $ n $ tende ao infinito. Para resolver isso, vamos analisar o limite de $ f(n) $ quando $ n $ cresce muito.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a análise do limite. A função é:
Observamos que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de segundo grau. Quando lidamos com limites de polinômios, geralmente comparamos os maiores termos de cada um.
Passo 3
Identificamos os termos de maior grau no numerador e no denominador:
- No numerador, o termo de maior grau é $ 2n^{2} $.
- No denominador, o termo de maior grau é $ 3n^{2} $.
Esses termos vão dominar o comportamento da função quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 4
Vamos simplificar a função dividindo cada termo do numerador e do denominador por $ n^{2} $, que é o termo de maior grau:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento quando $ n $ tende ao infinito:
- $ \frac{1}{n^{2}} $ tende a 0.
- $ \frac{1}{n} $ também tende a 0.
Portanto, a expressão simplificada fica:
Passo 6
Finalmente, como o limite de $ f(n) $ quando $ n $ tende ao infinito é $ \frac{2}{3} $, concluímos que a sequência é convergente e o seu limite é $ \frac{2}{3} $.
Resposta
A sequência $ f(n) = \frac{2n^{2} + 1}{3n^{2} - n} $ é convergente, com limite igual a $ \frac{2}{3} $.