Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^infty an,
onde
an = 1cdot4cdot7cdots(3n-2)3cdot5cdot7cdots(2n+1)
Como todos os an são positivos, basta usar o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge.

Passo 2

Escrevemos o termo geral de forma explícita:
an = prodk=1^n(3k-2)prodk=1^n(2k+1)

Passo 3

Aplicamos o teste da razão, calculando
an+1an = prodk=1^n+1(3k-2)prodk=1^n+1(2k+1) ;/; prodk=1^n(3k-2)prodk=1^n(2k+1) = 3(n+1)-22(n+1)+1 = 3n+12n+3

Passo 4

Determinamos o limite da razão quando ntoinfty:
limntoinftyan+1an = limntoinfty3n+12n+3 = 32 > 1
Como o limite da razão é maior que 1, o teste da razão nos diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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