Determinar a área da região delimitada pelas curvas a seguir.
y=x, y=4 x e y=-x+2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos determinar a área da região delimitada pelas curvas y = x , y = 4x e y = -x + 2 . Para resolver isso, vamos precisar do conhecimento sobre interseção de retas e cálculo de áreas entre gráficos no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde essas retas se interceptam. Esses pontos de interseção vão nos ajudar a delimitar a região cuja área queremos calcular.

Passo 3

Vamos encontrar a interseção entre y = x e y = 4x :
x = 4x Rightarrow x - 4x = 0 Rightarrow -3x = 0 Rightarrow x = 0
Substituindo x = 0 em y = x :
y = 0
Portanto, o ponto de interseção é (0, 0) .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a interseção entre y = x e y = -x + 2 :
x = -x + 2 Rightarrow x + x = 2 Rightarrow 2x = 2 Rightarrow x = 1
Substituindo x = 1 em y = x :
y = 1
Portanto, o ponto de interseção é (1, 1) .

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar a interseção entre y = 4x e y = -x + 2 :
4x = -x + 2 Rightarrow 4x + x = 2 Rightarrow 5x = 2 Rightarrow x = 25
Substituindo x = 25 em y = 4x :
y = 4 times 25 = 85
Portanto, o ponto de interseção é (25, 85) .

Passo 6

Agora que temos os pontos de interseção, podemos visualizar que a região delimitada é um triângulo formado pelos pontos (0, 0) , (1, 1) e (25, 85) .

Passo 7

Para encontrar a área desse triângulo, podemos usar a fórmula da área para três pontos no plano:
Área = 12 | x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2) | Á
Onde os pontos são (x1, y1) , (x2, y2) e (x3, y3) .

Passo 8

Aplicando os pontos (0, 0) , (1, 1) e (25, 85) :
Área = 12 | 0(1 - 85) + 1(85 - 0) + 25(0 - 1) | Á

Passo 9

Calculando dentro do valor absoluto:
0 times (1 - 85) = 0 1 times (85 - 0) = 85 25 times (0 - 1) = -25
Somando tudo:
0 + 85 - 25 = 65

Passo 10

Agora, aplicando na fórmula da área:
Área = 12 times | 65 | = 12 times 65 = 35 Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas y = x , y = 4x e y = -x + 2 é 35 unidades de área.

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