Determinar a área da região delimitada pelas curvas a seguir. e
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos determinar a área da região delimitada pelas curvas , e . Para resolver isso, vamos precisar do conhecimento sobre interseção de retas e cálculo de áreas entre gráficos no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde essas retas se interceptam. Esses pontos de interseção vão nos ajudar a delimitar a região cuja área queremos calcular.
Passo 3
Vamos encontrar a interseção entre e :
Substituindo em :
Portanto, o ponto de interseção é .
Passo 4
Agora, vamos encontrar a interseção entre e :
Substituindo em :
Portanto, o ponto de interseção é .
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar a interseção entre e :
Substituindo em :
Portanto, o ponto de interseção é .
Passo 6
Agora que temos os pontos de interseção, podemos visualizar que a região delimitada é um triângulo formado pelos pontos , e .
Passo 7
Para encontrar a área desse triângulo, podemos usar a fórmula da área para três pontos no plano:
Onde os pontos são , e .
Passo 8
Aplicando os pontos , e :
Passo 9
Calculando dentro do valor absoluto:
0 times (1 - 85) = 0 1 times (85 - 0) = 85 25 times (0 - 1) = -25
Somando tudo:
0 + 85 - 25 = 65
Passo 10
Agora, aplicando na fórmula da área:
Área = 12 times | 65 | = 12 times 65 = 35 Á
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas y = x , y = 4x e y = -x + 2 é 35 unidades de área.