Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente determinar se a série
1 - 2 !1 cdot 3 + 3 !1 cdot 3 cdot 5 - 4 !1 cdot 3 cdot 5 cdot 7 + cdots + (-1)^n-1 n !1 cdot 3 cdot 5 cdot cdots cdot(2 n-1)+cdots
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de convergência de séries e aplicar o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
  • Absolutamente convergente: Se a série dos valores absolutos dos termos converge.
  • Condicionalmente convergente: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
  • Divergente: Se a série original não converge.
Então, nossa estratégia será verificar se a série dos valores absolutos converge. Se convergir, a série original também converge absolutamente; se não, precisamos verificar outros critérios.

Passo 3

Vamos considerar a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty n!1 cdot 3 cdot 5 cdot cdots cdot (2n-1)
Para simplificar, notamos que o denominador é um produto de números ímpares até 2n-1. Podemos reescrever esse produto usando a notação de fatorial duplo:
1 cdot 3 cdot 5 cdot cdots cdot (2n-1) = (2n-1)!!
Então, a série fica:
sumn=1^infty n!(2n-1)!!

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para verificar a convergência dessa série. O teste da razão nos diz para calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge absolutamente; se L > 1, diverge; se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 5

Vamos calcular an = n!(2n-1)!! e an+1 = (n+1)!(2(n+1)-1)!! = (n+1)!(2n+1)!!.
Então:
an+1an = (n+1)!(2n+1)!! cdot (2n-1)!!n! = n+12n+1
Portanto:
L = limn to infty n+12n+1 = limn to infty 1 + 1n2 + 1n = 12 < 1

Passo 6

Como o limite L = 12 é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série dos valores absolutos converge. Isso significa que a série original também converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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