Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{\frac{7}{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{\frac{7}{2}}}
quanto à convergência: absoluta, condicional ou divergente. O conteúdo aqui envolve conhecer o teste de convergência absoluta (usar séries de potências ou séries- p) e saber que, se a soma dos valores absolutos converge, a série original converge absolutamente.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n}}{n^{\frac{7}{2}}}\right| =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{7}{2}}}.
Esta é uma série- p com p=\frac{7}{2}. Como \frac{7}{2}>1, sabemos pelo teste da série- p que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{7}{2}}}
converge.

Passo 3

Dado que a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original converge absolutamente (e portanto converge).

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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