Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \cdot\left(n \cdot 5^{-n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bigl(n\cdot 5^{-n}\bigr)
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Conteúdo envolvido: testes de convergência de séries infinitas, em particular o teste da razão para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, analisamos
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|(-1)^{n}n5^{-n}\bigr| =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{5^{n}}.
Aplicamos o teste da razão a a_{n}=\frac{n}{5^{n}}:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n+1}{5^{\,n+1}}}{\frac{n}{5^{n}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{5n} =\frac{1}{5}<1.
Como L<1, a série \sum_{n=1}^{\infty}\tfrac{n}{5^{n}} converge, logo a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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