Utilizando os testes de convergência, analise a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\operatorname{arctg}(k)}{k^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\arctan(k)}{k^{2}+1}.
O conteúdo principal aqui é teste de comparação envolvendo séries do tipo p-série e comportamento assintótico de \arctan(k) quando k\to\infty.

Passo 2

Observamos que, para todo k\ge1,
0<\arctan(k)\le \frac{\pi}{2},
pois \arctan(x) é crescente em x\ge0 e tende a \pi/2. Logo cada termo da série satisfaz
0<\frac{\arctan(k)}{k^{2}+1}\le \frac{\frac{\pi}{2}}{k^{2}+1}.

Passo 3

Como k^{2}+1\ge k^{2}, temos
\frac{\frac{\pi}{2}}{k^{2}+1}\le \frac{\frac{\pi}{2}}{k^{2}} =\frac{\pi}{2}\,\frac{1}{k^{2}}.
A série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}
é convergente (é um p-série com p=2>1), portanto
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\pi/2}{k^{2}}
também converge. Pelo teste da comparação, como
0\le \frac{\arctan(k)}{k^{2}+1}\le \frac{\pi/2}{k^{2}},
segue-se que
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\arctan(k)}{k^{2}+1}
converge.

Resposta

A série converge.

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