Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O termo geral é
. - O módulo do termo é
. - A série é alternada (os sinais trocam de positivo para negativo).
O que o enunciado pede:
- Classificar a série em uma das três categorias: absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 2
O que significa cada classificação (definição curta e direta):
- Uma série
é absolutamente convergente se a série de termos positivos converge. - Se
converge mas diverga, então é condicionalmente convergente. - Se
não converge, a série é divergente.
Plano de ataque (sem resolver ainda): é geralmente mais simples verificar primeiro a convergência absoluta, isto é, estudar
. Se essa série convergir, então a série original converge absolutamente e concluímos. Se não convergir, aí testaríamos a convergência alternativa (por exemplo pelo teste de Leibniz).
Passo 3
Estudo da série de módulos
.
Vou comparar termo a termo com a série conhecida
, que é convergente (essa série soma para
, mas só importa que converge).
Observação crucial sobre fatoriais: para todo
vale
pois o produto até
contém todos os fatores do produto até
e, multiplicando mais termos maiores ou iguais a
, fica maior ou igual. Assim,
Portanto, para todo
temos a desigualdade termo a termo
Passo 4
Aplicando o teste da comparação: como
é convergente, e
para todos os
, então por comparação a série
também converge.
Isso significa que a série das magnitudes
converge, logo a série original é absolutamente convergente.
Passo 5
Comentário didático (por que isso basta): se uma série é absolutamente convergente, então ela converge (a convergência absoluta é uma condição mais forte que a simples convergência). Logo não há necessidade de aplicar o teste para séries alternadas — a comparação já garante a convergência absoluta e, portanto, a convergência da série original.
Se quiser uma verificação alternativa rápida: aplicando o teste da razão aos termos positivos
,
o que também dá convergência absoluta pelo teste da razão (limite menor que 1).
Resposta
A série é absolutamente convergente.