Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\quad \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{(2 n-1)!}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{(2n-1)!}
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral é a_n = (-1)^{n+1}\dfrac{1}{(2n-1)!}.
  • O módulo do termo é |a_n|=\dfrac{1}{(2n-1)!}.
  • A série é alternada (os sinais trocam de positivo para negativo).
O que o enunciado pede:
  • Classificar a série em uma das três categorias: absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 2

O que significa cada classificação (definição curta e direta):
  • Uma série \sum a_n é absolutamente convergente se a série de termos positivos \sum |a_n| converge.
  • Se \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverga, então \sum a_n é condicionalmente convergente.
  • Se \sum a_n não converge, a série é divergente.
Plano de ataque (sem resolver ainda): é geralmente mais simples verificar primeiro a convergência absoluta, isto é, estudar \sum |a_n|=\sum \dfrac{1}{(2n-1)!}. Se essa série convergir, então a série original converge absolutamente e concluímos. Se não convergir, aí testaríamos a convergência alternativa (por exemplo pelo teste de Leibniz).

Passo 3

Estudo da série de módulos \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)!}.
Vou comparar termo a termo com a série conhecida \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}, que é convergente (essa série soma para e-1, mas só importa que converge).
Observação crucial sobre fatoriais: para todo n\ge 1 vale
(2n-1)! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots (2n-1) \ge 1\cdot 2\cdot 3\cdots n = n!,
pois o produto até 2n-1 contém todos os fatores do produto até n e, multiplicando mais termos maiores ou iguais a 1, fica maior ou igual. Assim,
(2n-1)!\ge n^! \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{(2n-1)!}\le \frac{1}{n!}.
Portanto, para todo n\ge1 temos a desigualdade termo a termo
0\le \frac{1}{(2n-1)!}\le\frac{1}{n!}.

Passo 4

Aplicando o teste da comparação: como \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!} é convergente, e \displaystyle 0\le \dfrac{1}{(2n-1)!}\le \dfrac{1}{n!} para todos os n, então por comparação a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)!}
também converge.
Isso significa que a série das magnitudes \sum |a_n| converge, logo a série original é absolutamente convergente.

Passo 5

Comentário didático (por que isso basta): se uma série é absolutamente convergente, então ela converge (a convergência absoluta é uma condição mais forte que a simples convergência). Logo não há necessidade de aplicar o teste para séries alternadas — a comparação já garante a convergência absoluta e, portanto, a convergência da série original.
Se quiser uma verificação alternativa rápida: aplicando o teste da razão aos termos positivos b_n=\dfrac{1}{(2n-1)!},
\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{(2n-1)!}{(2n+1)!}=\frac{1}{(2n)(2n+1)}\xrightarrow[n\to\infty]{}0,
o que também dá convergência absoluta pelo teste da razão (limite menor que 1).

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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