Sejam
,
e
.
Encontre a função
e seu domínio.
Encontre a função
Passo 1
O enunciado dá cinco funções:
O que se pede:
- Encontrar a função
(ou seja, calcular ). - Determinar o domínio dessa função resultante.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
usa a função seno em argumento . -
é o logaritmo natural — isso impõe condição sobre . -
é um polinômio em (na verdade um polinômio de grau com sinal invertido). - Para composições, é preciso lembrar: o domínio de
é o conjunto de que pertencem ao domínio de e tal que pertence ao domínio de .
Passo 2
Regra de composição (explicação didática):
- Se
e são funções, então . - O domínio de
é
Isto significa: primeiro verificar os
em que
está definida; depois, desses
, eliminar aqueles cujo valor
torna
indefinida.
Aplicaremos essa ideia separadamente a
e a
, e depois somamos as expressões e intersectamos os domínios.
Passo 3
Calcular
passo a passo:
- Primeiro escrevo
. - Substituo
em por . Como , com obtemos
Passo 4
Determinar o domínio de
:
- Domínio de
: exige , isto é . Logo
- Domínio de
: está definida para todos os reais, ou seja . - Pela regra da composição, precisamos de
tal que . Mas como , não há restrição adicional.
Portanto
Passo 5
Calcular
passo a passo:
-
. - Então
Agora desenvolvo
:
Substituindo de volta:
Passo 6
Multiplicar por
:
Explicando: multipliquei cada termo por
:
,
,
.
Passo 7
Somar as duas partes para obter a função pedida:
Esta é a expressão final simplificada — a parte trigonométrica fica como
e a parte algébrica está expandida como polinômio.
Passo 8
Determinar o domínio da soma:
- Já vimos que
. -
porque é um polinômio. - O domínio da soma é a interseção dos domínios das parcelas:
Portanto a função inteira está definida para todos os
.