Sejam f_{1}(x)=\sqrt[12]{x+2}, f_{2}(x)=9-x^{2}, f_{3}(x)=\operatorname{sen}(x+5), f_{4}(x)=e^{x+7} e f_{5}(x)=\ln (1-x).
Encontre a função f_{3} \circ f_{5}+6 f_{2} \circ f_{2} e seu domínio.

Passo 1

O enunciado dá cinco funções:
f_{1}(x)=\sqrt[12]{x+2},\qquad f_{2}(x)=9-x^{2},\qquad f_{3}(x)=\sin(x+5),\qquad f_{4}(x)=e^{x+7},\qquad f_{5}(x)=\ln(1-x).
O que se pede:
  • Encontrar a função f_{3}\circ f_{5}+6\,f_{2}\circ f_{2} (ou seja, calcular (f_{3}\circ f_{5})(x)+6\,(f_{2}\circ f_{2})(x)).
  • Determinar o domínio dessa função resultante.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • f_{3} usa a função seno em argumento x+5.
  • f_{5} é o logaritmo natural \ln(1-x) — isso impõe condição sobre x.
  • f_{2} é um polinômio em x (na verdade um polinômio de grau 2 com sinal invertido).
  • Para composições, é preciso lembrar: o domínio de g\circ h é o conjunto de x que pertencem ao domínio de h e tal que h(x) pertence ao domínio de g.

Passo 2

Regra de composição (explicação didática):
  • Se g e h são funções, então (g\circ h)(x)=g(h(x)).
  • O domínio de g\circ h é
\{x\in\operatorname{Dom}(h)\mid h(x)\in\operatorname{Dom}(g)\}.
Isto significa: primeiro verificar os x em que h está definida; depois, desses x, eliminar aqueles cujo valor h(x) torna g indefinida.
Aplicaremos essa ideia separadamente a f_{3}\circ f_{5} e a f_{2}\circ f_{2}, e depois somamos as expressões e intersectamos os domínios.

Passo 3

Calcular f_{3}\circ f_{5} passo a passo:
  • Primeiro escrevo f_{5}(x)=\ln(1-x).
  • Substituo x em f_{3} por f_{5}(x). Como f_{3}(u)=\sin(u+5), com u=f_{5}(x) obtemos
(f_{3}\circ f_{5})(x)=\sin\big(f_{5}(x)+5\big)=\sin\big(\ln(1-x)+5\big).

Passo 4

Determinar o domínio de f_{3}\circ f_{5}:
  • Domínio de f_{5}: \ln(1-x) exige 1-x>0, isto é x<1. Logo
\operatorname{Dom}(f_{5})=(-\infty,1).
  • Domínio de f_{3}: \sin está definida para todos os reais, ou seja \operatorname{Dom}(f_{3})=\mathbb{R}.
  • Pela regra da composição, precisamos de x\in\operatorname{Dom}(f_{5}) tal que f_{5}(x)\in\operatorname{Dom}(f_{3}). Mas como \operatorname{Dom}(f_{3})=\mathbb{R}, não há restrição adicional.
    Portanto
\operatorname{Dom}(f_{3}\circ f_{5})=(-\infty,1).

Passo 5

Calcular f_{2}\circ f_{2} passo a passo:
  • f_{2}(x)=9-x^{2}.
  • Então
(f_{2}\circ f_{2})(x)=f_{2}\big(f_{2}(x)\big)=9-\big(f_{2}(x)\big)^{2}=9-\big(9-x^{2}\big)^{2}.
Agora desenvolvo \big(9-x^{2}\big)^{2}:
\big(9-x^{2}\big)^{2}=9^{2}-2\cdot9\cdot x^{2}+x^{4}=81-18x^{2}+x^{4}=x^{4}-18x^{2}+81.
Substituindo de volta:
(f_{2}\circ f_{2})(x)=9-\big(x^{4}-18x^{2}+81\big)=9-x^{4}+18x^{2}-81=-x^{4}+18x^{2}-72.

Passo 6

Multiplicar por 6:
6\,(f_{2}\circ f_{2})(x)=6\big(-x^{4}+18x^{2}-72\big)=-6x^{4}+108x^{2}-432.
Explicando: multipliquei cada termo por 6: 6\cdot(-x^{4})=-6x^{4}, 6\cdot18x^{2}=108x^{2}, 6\cdot(-72)=-432.

Passo 7

Somar as duas partes para obter a função pedida:
(f_{3}\circ f_{5})(x)+6\,(f_{2}\circ f_{2})(x)=\sin\big(\ln(1-x)+5\big)-6x^{4}+108x^{2}-432.
Esta é a expressão final simplificada — a parte trigonométrica fica como \sin(\ln(1-x)+5) e a parte algébrica está expandida como polinômio.

Passo 8

Determinar o domínio da soma:
  • Já vimos que \operatorname{Dom}(f_{3}\circ f_{5})=(-\infty,1).
  • \operatorname{Dom}(6\,(f_{2}\circ f_{2}))=\operatorname{Dom}(f_{2}\circ f_{2})=\mathbb{R} porque é um polinômio.
  • O domínio da soma é a interseção dos domínios das parcelas:
(-\infty,1)\cap\mathbb{R}=(-\infty,1).
Portanto a função inteira está definida para todos os x<1.

Resposta

\sin\big(\ln(1-x)+5\big)-6x^{4}+108x^{2}-432
(- \infty,1)

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