Sejam f_{1}(x)=\sqrt[12]{x+2}, f_{2}(x)=9-x^{2}, f_{3}(x)=\operatorname{sen}(x+5), f_{4}(x)=e^{x+7} e f_{5}(x)=\ln (1-x).
Encontre a função \frac{f_{3} f_{3}-5 f_{3}}{f_{1}} e seu domínio.

Passo 1

O enunciado dá as funções
f_{1}(x)=\sqrt[12]{x+2},\qquad f_{2}(x)=9-x^{2},\qquad f_{3}(x)=\operatorname{sen}(x+5),\qquad f_{4}(x)=e^{x+7},\qquad f_{5}(x)=\ln(1-x).
O que se pede é construir a função
\frac{f_{3}f_{3}-5f_{3}}{f_{1}}
e determinar o domínio dessa função. Vou trabalhar com x como variável e explicar passo a passo cada restrição de domínio.

Passo 2

Primeiro escrevo f_{3} de forma clara: f_{3}(x)=\sin(x+5) (uso \sin no lugar de \operatorname{sen} para notação matemática padrão). O numerador é
f_{3}(x)\,f_{3}(x)-5f_{3}(x)=\sin^{2}(x+5)-5\sin(x+5).
Posso fatorar um \sin(x+5) em evidência:
\sin^{2}(x+5)-5\sin(x+5)=\sin(x+5)\bigl(\sin(x+5)-5\bigr).

Passo 3

Agora escrevo o quociente completo, lembrando que f_{1}(x)=\sqrt[12]{x+2}=(x+2)^{1/12}. Assim a função pedida é
\frac{\sin(x+5)\bigl(\sin(x+5)-5\bigr)}{\sqrt[12]{x+2}}.
Essa é uma forma explícita e factorizada da função solicitada.

Passo 4

Análise do domínio — passo a passo e com explicações didáticas:
  • A função \sin(x+5) está definida para todo x\in\mathbb{R}; portanto o numerador não impõe restrição de domínio.
  • A função f_{1}(x)=\sqrt[12]{x+2} é uma raiz de índice 12, que é par. Para que uma raiz de índice par esteja definida em \mathbb{R} é preciso que o radicando seja não negativo. Logo é necessário x+2\ge 0\quad\Longrightarrow\quad x\ge -2.
  • Além disso, como f_{1}(x) aparece no denominador, não podemos ter denominador igual a zero. O valor de f_{1} é zero exatamente quando x+2=0, ou seja em x=-2. Assim devemos excluir x=-2.
  • Combinando as duas condições acima obtemos a restrição final do domínio: x>-2.
Não há outras restrições (por exemplo, \sin(x+5)-5=0 não é problema, pois se o numerador for zero isso apenas torna a fração igual a zero — desde que o denominador seja não nulo).

Passo 5

Resumo final: a função construída é a que escrevi no Passo 3 e o domínio é todos os reais estritamente maiores que -2, ou seja o intervalo (-2,\infty). Segue a resposta formatada.

Resposta

\frac{f_{3}(x)f_{3}(x)-5f_{3}(x)}{f_{1}(x)}=\frac{\sin(x+5)\bigl(\sin(x+5)-5\bigr)}{\sqrt[12]{x+2}}
\text{Domínio: }(-2,\infty)í

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