Sejam
,
e
.
Encontre a função
e seu domínio.
Encontre a função
Passo 1
O enunciado dá as funções
O que se pede é construir a função
e determinar o domínio dessa função. Vou trabalhar com
como variável e explicar passo a passo cada restrição de domínio.
Passo 2
Primeiro escrevo
de forma clara:
(uso
no lugar de
para notação matemática padrão). O numerador é
Posso fatorar um
em evidência:
Passo 3
Agora escrevo o quociente completo, lembrando que
. Assim a função pedida é
Essa é uma forma explícita e factorizada da função solicitada.
Passo 4
Análise do domínio — passo a passo e com explicações didáticas:
- A função
está definida para todo ; portanto o numerador não impõe restrição de domínio. - A função
é uma raiz de índice , que é par. Para que uma raiz de índice par esteja definida em é preciso que o radicando seja não negativo. Logo é necessário - Além disso, como
aparece no denominador, não podemos ter denominador igual a zero. O valor de é zero exatamente quando , ou seja em . Assim devemos excluir . - Combinando as duas condições acima obtemos a restrição final do domínio:
Não há outras restrições (por exemplo,
não é problema, pois se o numerador for zero isso apenas torna a fração igual a zero — desde que o denominador seja não nulo).
Passo 5
Resumo final: a função construída é a que escrevi no Passo 3 e o domínio é todos os reais estritamente maiores que
, ou seja o intervalo
. Segue a resposta formatada.