Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. \quad \sum_{n=4}^{\infty}\left(\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n}\right)
o denominador n(n-3) é o produto dos dois denominadores originais.
Observação sobre o sinal: para n\ge4 tem-se n-3>0 e n>0, logo n(n-3)>0 e o termo \dfrac{3}{n(n-3)} é positivo para todo n\ge4. Portanto os termos da série são todos positivos e |a_n|=a_n.
Passo 3
Um método natural aqui é somar parcialmente e aproveitar cancelamentos (soma telescópica). Defina a soma parcial
Agora observe os cancelamentos: muitos termos \frac{1}{4},\frac{1}{5},\ldots,\frac{1}{N-3} aparecem com sinal + e com sinal - e se anulam. O que sobra ao somar é apenas
(Para ver isso, basta agrupar os somandos positivos \sum_{k=1}^{N-3}\frac{1}{k} e os negativos \sum_{k=4}^{N}\frac{1}{k} e cancelar os termos em comum.)
Isso mostra que a série converge (e converge para \dfrac{11}{6}).
Passo 5
Como vimos no Passo 2 os termos da série são positivos para todo n\ge4, ou seja \left|\dfrac{1}{n-3}-\dfrac{1}{n}\right|=\dfrac{1}{n-3}-\dfrac{1}{n}. Logo a série dos valores absolutos é exatamente a mesma série original. Como a série original converge, a série das normas também converge. Pela definição:
Uma série é absolutamente convergente se \sum |a_n| converge.