Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\quad \sum_{n=4}^{\infty}\left(\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=4}^{\infty}\left(\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n}\right)
e pede que se determine se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informação relevante fornecida:
  • O somatório é a partir de n=4 até infinito.
  • O termo geral é \dfrac{1}{n-3}-\dfrac{1}{n}.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral algebricamente para entender melhor seu comportamento. Colocando em denominador comum:
\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n}=\frac{n-(n-3)}{n(n-3)}=\frac{3}{n(n-3)}.
Aqui cada símbolo significa:
  • n é o índice da soma (inteiro, n\ge4);
  • o numerador 3 vem da diferença n-(n-3);
  • o denominador n(n-3) é o produto dos dois denominadores originais.
Observação sobre o sinal: para n\ge4 tem-se n-3>0 e n>0, logo n(n-3)>0 e o termo \dfrac{3}{n(n-3)} é positivo para todo n\ge4. Portanto os termos da série são todos positivos e |a_n|=a_n.

Passo 3

Um método natural aqui é somar parcialmente e aproveitar cancelamentos (soma telescópica). Defina a soma parcial
S_N=\sum_{n=4}^{N}\left(\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n}\right).
Escrevendo os primeiros termos explícitos:
\begin{aligned} S_N &= \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{4}\right) +\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right) +\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right) +\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{7}\right) +\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{8}\right) +\cdots +\left(\frac{1}{N-3}-\frac{1}{N}\right). \end{aligned}
Agora observe os cancelamentos: muitos termos \frac{1}{4},\frac{1}{5},\ldots,\frac{1}{N-3} aparecem com sinal + e com sinal - e se anulam. O que sobra ao somar é apenas
S_N = \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{N-2}+\frac{1}{N-1}+\frac{1}{N}\right).
(Para ver isso, basta agrupar os somandos positivos \sum_{k=1}^{N-3}\frac{1}{k} e os negativos \sum_{k=4}^{N}\frac{1}{k} e cancelar os termos em comum.)

Passo 4

Agora passe ao limite quando N\to\infty. Note que
\lim_{N\to\infty}\left(\frac{1}{N-2}+\frac{1}{N-1}+\frac{1}{N}\right)=0,
portanto
\lim_{N\to\infty}S_N = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}.
Isso mostra que a série converge (e converge para \dfrac{11}{6}).

Passo 5

Como vimos no Passo 2 os termos da série são positivos para todo n\ge4, ou seja \left|\dfrac{1}{n-3}-\dfrac{1}{n}\right|=\dfrac{1}{n-3}-\dfrac{1}{n}. Logo a série dos valores absolutos é exatamente a mesma série original. Como a série original converge, a série das normas também converge. Pela definição:
  • Uma série é absolutamente convergente se \sum |a_n| converge.
  • Aqui \sum |a_n|=\sum a_n=\dfrac{11}{6} (valor finito).
Portanto a série é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente (soma =\tfrac{11}{6}).

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