Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado dá a série de termos positivos
O que se pede: determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O termo geral é
. - Cada termo
é positivo para todo (porque e potência positiva mantêm positividade).
Passo 2
Observação útil sobre tipos de convergência: como todos os termos são não-negativos, a série é absolutamente convergente se e somente se for convergente. Ou seja, basta testar a convergência da série dada; não há distinção entre convergência absoluta e condicional aqui (condicional só ocorre quando a série converge mas a série dos valores absolutos diverge — impossível se todos os termos já são não-negativos).
Passo 3
Vamos comparar
com uma sequência geométrica decrescente que conhecemos bem. Para isso usamos a desigualdade padrão para logaritmo: para
vale
Explicação da desigualdade: defina
. Tem-se
e
para
. Como
é decrescente em
, resulta
, ou seja
.
Passo 4
Aplicando a desigualdade com
(note que
para
; a verificação para um número finito de primeiros termos não altera a convergência da série), obtemos
Multiplicando ambos os lados por
surge
Exponenciando (função exponencial estritamente crescente) resulta
Passo 5
Agora usamos o teste da comparação direta. A série geométrica
é convergente porque é geométrica com razão
tal que
; de fato a soma é
, um número finito. Como para todo
temos
pela comparação segue que
converge.
Passo 6
Conclusão final sobre o tipo de convergência: já que a série converge e todos os termos são não-negativos, a série é absolutamente convergente (não existe diferença entre convergência e convergência absoluta neste caso).
Observação extra (intuitiva, opcional): usando a expansão do logaritmo em séries, obtém-se
, logo
. Isso confirma que o termo tem decaimento exponencial e justifica a comparação com
.
Resposta
absolutamente convergente