Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}
O que se pede: determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral é a_n=\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{n^{2}}.
  • Cada termo a_n é positivo para todo n\ge1 (porque 0<1-\tfrac{1}{n}<1 e potência positiva mantêm positividade).

Passo 2

Observação útil sobre tipos de convergência: como todos os termos são não-negativos, a série é absolutamente convergente se e somente se for convergente. Ou seja, basta testar a convergência da série dada; não há distinção entre convergência absoluta e condicional aqui (condicional só ocorre quando a série converge mas a série dos valores absolutos diverge — impossível se todos os termos já são não-negativos).

Passo 3

Vamos comparar a_n com uma sequência geométrica decrescente que conhecemos bem. Para isso usamos a desigualdade padrão para logaritmo: para x\in(0,1) vale
\ln(1-x)\le -x.
Explicação da desigualdade: defina g(x)=\ln(1-x)+x. Tem-se g(0)=0 e g'(x)=-\dfrac{1}{1-x}+1=-\dfrac{x}{1-x}\le0 para x\in(0,1). Como g é decrescente em (0,1), resulta g(x)\le g(0)=0, ou seja \ln(1-x)\le -x.

Passo 4

Aplicando a desigualdade com x=\dfrac{1}{n} (note que x\in(0,1) para n\ge2; a verificação para um número finito de primeiros termos não altera a convergência da série), obtemos
\ln\!\left(1-\frac{1}{n}\right)\le -\frac{1}{n}.
Multiplicando ambos os lados por n^{2}>0 surge
n^{2}\ln\!\left(1-\frac{1}{n}\right)\le -n.
Exponenciando (função exponencial estritamente crescente) resulta
\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^{2}} = \exp\!\Big(n^{2}\ln\!\left(1-\frac{1}{n}\right)\Big) \le \exp(-n) = e^{-n}.

Passo 5

Agora usamos o teste da comparação direta. A série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n}
é convergente porque é geométrica com razão e^{-1} tal que 0<e^{-1}<1; de fato a soma é \dfrac{e^{-1}}{1-e^{-1}}, um número finito. Como para todo n temos
0\le \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^{2}} \le e^{-n},
pela comparação segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}
converge.

Passo 6

Conclusão final sobre o tipo de convergência: já que a série converge e todos os termos são não-negativos, a série é absolutamente convergente (não existe diferença entre convergência e convergência absoluta neste caso).
Observação extra (intuitiva, opcional): usando a expansão do logaritmo em séries, obtém-se n^{2}\ln(1-1/n)=-n-\tfrac{1}{2}+o(1), logo \left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{n^{2}}\sim e^{-1/2}e^{-n}. Isso confirma que o termo tem decaimento exponencial e justifica a comparação com e^{-n}.

Resposta

absolutamente convergente

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