Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
8. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série alternada \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}+1}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar o teste de comparação para a convergência absoluta e, se necessário, o teste de Leibniz para série alternada.

Passo 2

Estudamos a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \Bigl|\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}+1}\Bigr| =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+1}.
Como para todo n\ge1 vale
\frac{1}{n^{2}+1} \le \frac{1}{n^{2}}
e sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
é convergente (é uma série p-com p=2>1), pelo teste da comparação direta concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+1}
também converge.

Passo 3

Como \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| converge, onde a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}+1}, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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