Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
  1. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n \sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n\sqrt{n}}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Vamos usar o conceito de convergência absoluta e o teste da série p-série.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n-1}}{n\sqrt{n}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}.
Sabemos que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}
converge se, e somente se, p>1. Aqui p=\tfrac{3}{2}>1, logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}
converge. Portanto a dada série converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados