Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
14. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n}}{n 3^{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n}}{n\,3^{n+1}}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar testes de convergência de séries, em particular o teste da razão para analisar a convergência absoluta.

Passo 2

Para estudar a convergência absoluta, consideramos a série dos módulos dos termos:
\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-2)^{n}}{n\,3^{n+1}}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n\,3^{n+1}} = \frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{n}}{n}.

Passo 3

Aplique o teste da razão em
b_{n} = \frac{\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{n}}{n}\,.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty} \frac{\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{n+1}/(n+1)}{\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{n}/n} =\frac{2/3}{1}\cdot\frac{n}{n+1} =\frac{2}{3}<1.
Como o limite é menor que 1, a série \sum b_n converge. Logo a série dos módulos também converge.

Passo 4

Convergência da série dos módulos implica que a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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