Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
9. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2 n-1)!}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos primeiro investigar a convergência absoluta, ou seja, examinar
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)!}.

Passo 2

Aplicamos o critério da razão à série absoluta a_n=1/(2n-1)!. Calculamos
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1/(2(n+1)-1)!}{1/(2n-1)!} =\lim_{n\to\infty}\frac{(2n-1)!}{(2n+1)!} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n(2n+1)}=0.
Como L=0<1, a série \sum_{n=1}^{\infty}1/(2n-1)! converge. Logo, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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