Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n \sqrt{n}}.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n\sqrt{n}}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações dadas: a soma tem termo geral \displaystyle a_n=\frac{(-1)^{n-1}}{n\sqrt{n}}. Não há outras condições impostas. A nossa tarefa é classificar a convergência dessa série.
Passo 2
O que significam as três possibilidades (explicação didática, tipo “como decorar para a prova”):
Uma série \displaystyle\sum a_n é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos \displaystyle\sum |a_n| converge. Isso é útil porque absoluta implica convergência usual (ou seja, se \sum |a_n| converge então \sum a_n também converge).
A série é condicionalmente convergente se \displaystyle\sum a_n converge, mas \displaystyle\sum |a_n| diverge. Ou seja, converge apenas por causa dos sinais (por exemplo alternância) e não quando tiramos os sinais.
A série é divergente se \displaystyle\sum a_n não converge (e consequentemente não é condicional nem absolutamente convergente).
Passo 3
Vamos primeiro analisar a série dos valores absolutos, porque esse é o caminho mais direto: calcular \displaystyle\sum |a_n|. Aqui
Agora aplicamos o teste da série p (um resultado padrão que você deve conhecer e usar na prova): a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Aqui temos p=\tfrac{3}{2}. Observe que
\frac{3}{2}=1{,}5>1,
portanto a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}} converge.
(Explicação rápida do porquê do teste p — só para fixar: uma forma de ver é usar o teste da integral: \int_{1}^{\infty} x^{-p}dx convergente se p>1; ou usar comparação direta com uma série conhecida.)
converge, concluímos que a série original \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n\sqrt{n}} é absolutamente convergente. Lembre-se: absoluta convergência implica convergência simples, então não precisamos recorrer ao teste de séries alternadas (mas, se fosse pedido, o teste de Leibniz também mostraria convergência, já que \frac{1}{n^{3/2}} é monótona decrescente e tende a zero).