Considere a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{1+n}+\sqrt{n}}
Encontre a sequência das somas parciais, S_{n}, e em seguida mostre que a série diverge.
Dica: Aplique o conjugado \sqrt{1+n}-\sqrt{n} no numerador e denominador do termo geral da série para encontrar uma nova expressão.

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a sequência das somas parciais S_{n} da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{1+n}+\sqrt{n}}
e, em seguida, mostrar que a série diverge.
Informações dadas:
\text{otermo geral } a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}},\quad n=1,2,3,\dots

Passo 2

Vamos transformar o termo geral usando o conjugado, conforme a dica. A ideia do conjugado é multiplicar numerador e denominador por \sqrt{n+1}-\sqrt{n} para eliminar as raízes no denominador.
Calcule:
\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}.
No denominador temos uma diferença de quadrados; isso dá
(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=(n+1)-n=1.
Portanto o termo simplifica para
\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}.

Passo 3

Agora escrevemos a soma parcial S_{N} (usarei N para indicar um número finito de termos):
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} =\sum_{n=1}^{N}\bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr).
Observe que esta soma é telescópica: escrevendo os primeiros termos,
\begin{aligned} S_{N} &= (\sqrt{2}-\sqrt{1}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) + \cdots + (\sqrt{N+1}-\sqrt{N}) \\\ &= \cancel{\sqrt{2}}-\sqrt{1}+\cancel{\sqrt{3}}-\cancel{\sqrt{2}}+\cancel{\sqrt{4}}-\cancel{\sqrt{3}}+\cdots+\sqrt{N+1}-\cancel{\sqrt{N}}. \end{aligned}
Quase todos os termos intermediários se cancelam, sobrando apenas
S_{N}=\sqrt{N+1}-\sqrt{1}.
Como \sqrt{1}=1, obtemos a expressão final para as somas parciais:
S_{N}=\sqrt{N+1}-1.

Passo 4

Para decidir sobre a convergência da série, calculamos o limite das somas parciais quando N\to\infty:
\lim_{N\to\infty}S_{N}=\lim_{N\to\infty}\bigl(\sqrt{N+1}-1\bigr)=+\infty,
pois \sqrt{N+1}\to\infty quando N\to\infty. Como as somas parciais não tendem a um número finito, a série diverge (mais precisamente, diverge para +\infty).
Observação didática rápida: apesar de a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\to0 quando n\to\infty, isso não garante convergência da série; é apenas uma condição necessária. Aqui temos um caso clássico de série telescópica que diverge porque as somas parciais crescem sem limite.

Resposta

S_{n}=\sqrt{n+1}-1
A série diverge (as somas parciais tendem a +\infty).

Exercícios relacionados