Considere a série
Encontre a sequência das somas parciais,
, e em seguida mostre que a série diverge.
Dica: Aplique o conjugado
no numerador e denominador do termo geral da série para encontrar uma nova expressão.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a sequência das somas parciais
da série
e, em seguida, mostrar que a série diverge.
Informações dadas:
Passo 2
Vamos transformar o termo geral usando o conjugado, conforme a dica. A ideia do conjugado é multiplicar numerador e denominador por
para eliminar as raízes no denominador.
Calcule:
No denominador temos uma diferença de quadrados; isso dá
Portanto o termo simplifica para
Passo 3
Agora escrevemos a soma parcial
(usarei
para indicar um número finito de termos):
Observe que esta soma é telescópica: escrevendo os primeiros termos,
Quase todos os termos intermediários se cancelam, sobrando apenas
Como
, obtemos a expressão final para as somas parciais:
Passo 4
Para decidir sobre a convergência da série, calculamos o limite das somas parciais quando
:
pois
quando
. Como as somas parciais não tendem a um número finito, a série diverge (mais precisamente, diverge para
).
Observação didática rápida: apesar de
quando
, isso não garante convergência da série; é apenas uma condição necessária. Aqui temos um caso clássico de série telescópica que diverge porque as somas parciais crescem sem limite.
Resposta
A série diverge (as somas parciais tendem a