As perguntas implícitas que vamos responder: a série converge? Se converge, converge absolutamente ou apenas condicionalmente? Iremos analisar tanto a série alternada quanto a série de valores absolutos.
Passo 2
Qual método usar e por quê (explicação curta e amigável): a soma tem o fator alternante (-1)^{n-1}, então o teste de séries alternadas (critério de Leibniz) é a primeira coisa a tentar. Para decidir se a convergência é absoluta ou condicional, vamos testar a série dos valores absolutos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{n+4}
usando comparação com uma p-série (tipo \sum 1/n^p). Vou explicar cada teste antes de aplicar.
Passo 3
Relembrando o critério de Leibniz (explicação didática):
Sejam b_n\ge 0. Se (i) b_n é monótona não crescente a partir de algum N (ou seja, é eventualmentedecrecente) e (ii) \lim_{n\to\infty} b_n = 0, então a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} b_n
converge. Aqui identificamos
b_n = \frac{\sqrt{n}}{n+4}.
Precisamos verificar as duas condições do critério.
Passo 4
Verificar \lim_{n\to\infty} b_n = 0 (passo explícito e bem didático):
Escrevemos
Observe que o sinal de f'(x) depende do numerador 4-x. Assim:
Para x>4 temos 4-x<0, logo f'(x)<0.
Para x=4 temos f'(4)=0.
Portanto f é decrescente para todo x>4. Isso implica que a sequência b_n=f(n) é monótona decrescente a partir de n\ge 5 (ou seja, é eventualmentedecrecente). Se quiser, podemos checar numericamente os primeiros termos para ver o pico em n=4: por exemplo
e a partir daí decresce. Isso confirma que a monotonicidade exigida pelo critério de Leibniz vale a partir de n=5.
Passo 6
Conclusão do teste de Leibniz (didática):
Tendo (i) \lim_{n\to\infty} b_n=0 e (ii) b_n decrescente a partir de algum N, pelo critério de Leibniz a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\sqrt{n}}{n+4}
converge. Mas isso ainda não nos diz se é convergência absoluta; pode ser condicional. Vamos testar a série dos valores absolutos.
Passo 7
Teste de convergência absoluta (explicação do método):
A série de valores absolutos é
Uma maneira prática é comparar com a p-série \sum \frac{1}{n^{p}}. Note que \frac{\sqrt{n}}{n+4} tem ordem assintótica \frac{1}{\sqrt{n}} porque \sqrt{n}/(n+4) \sim \sqrt{n}/n = 1/\sqrt{n}. Vou usar o teste da comparação limite (limit comparison test) com c_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}.
Passo 8
Aplicando o teste da comparação pelo limite (completo e didático):
Calcule
O limite L é um número finito e não nulo (L=1). Pelo teste da comparação pelo limite, as duas séries \sum \dfrac{\sqrt{n}}{n+4} e \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}} têm o mesmo comportamento de convergência/divergência. Sabemos que a p-série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/2}}
é divergente porque o expoente p=\tfrac{1}{2}\le 1. Logo \sum \dfrac{\sqrt{n}}{n+4} também diverge.
Passo 9
Conclusão sobre absoluta vs condicional (explicação clara):
A série original é uma série alternada que converge pelo critério de Leibniz, mas a série dos valores absolutos diverge (pela comparação com \sum 1/\sqrt{n}). Portanto a convergência não é absoluta: ela é condicional.