Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
4. \sum_{n=\theta}^{\infty} \frac{(-3)^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência da série
\sum_{n=\theta}^{\infty}\frac{(-3)^{n}}{n!},
isto é, decidir se ela é divergente, convergente condicional ou convergente absoluta. Aqui vamos usar o teste da razão para séries, que é a ferramenta padrão quando aparecem fatoriais.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos
\sum_{n=\theta}^{\infty}\bigg|\frac{(-3)^{n}}{n!}\bigg| =\sum_{n=\theta}^{\infty}\frac{3^{n}}{n!}.
Aplicando o teste da razão a a_n = 3^n/n!, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{3^{\,n+1}/(n+1)!}{3^n/n!} =\lim_{n\to\infty}\frac{3}{n+1} =0.
Como esse limite é menor que 1, conclui-se que
\sum_{n=\theta}^{\infty}\frac{3^{n}}{n!}
converge.

Passo 3

Pelo fato de a série de valores absolutos convergir, a série original
\sum_{n=\theta}^{\infty}\frac{(-3)^{n}}{n!}
converge absolutamente (e, portanto, converge).

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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